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数学文化课程学习报告 一般的数学课是以数学的知识系统为线索来组织材料、进行教学的。“数学文化”课则不然，它可以从数学典故、数学问题、数学方法、数学观点、数学思想等角度切入，并以它们为线索来组织材料、进行教学。例如，历史上三次数学危机的典故、有限与无限的问题、类比的方法、抽象的观点、数学审美的思想，等等。一般的数学课是以讲授数学的理论知识及其应用为主要目的。“数学文化”课虽然也要以知识为载体，却并不以传授数学理论知识为主要目的，而是以教授数学思想提升学生的数学素养为主，同时提升学生的文化和思想素养。　与初等数学相比，高等数学更多地采用“无限”的手段和工具，更多地在“无限”的领域中进行研究。例如，“取极限”、“求导”、“求定积分”，都是采用“无限”的手段和工具。所以，让学生了解“无限”与“有限”有何本质的区别，又有何联系，是很重要的。关于“无限”与“有限”的本质区别，我们在教学中用“有无限个房间”的旅馆的例子作为知识载体，鼓励学生的独立思考，在师生互动中培养学生的创新思维。 　　客观世界的旅馆都只有有限个房间，客满以后再来客人就无法安排了，老板只好请客人到别的旅馆去住。但是，“有无限个房间”的旅馆则不然，客满以后再来客人仍然可以安排；从而看出“无限”与“有限”的本质区别。当然，“有无限个房间”的旅馆是人脑的产物。假设一个房间只住一个客人。所谓“客满”，就是有无穷个客人，住进了这无穷个房间，每一个房间都有人住（为简单起见，这里所说的“无穷”均指“可数无穷”）。我们在课堂上分以下三个层次提出问题，师生互动，逐渐深入，培养学生的创新思维。 　　（1） 这样的旅馆客满后又来了1位客人，老板能否安排？ 　　这时，老板可以先让原来房间里的客人都出来，然后重新安排，让1号房间的客人搬到2号房间去住，让2号房间的客人搬到3号房间去住，让3号房间的客人搬到4号房间去住，等等，让k号房间的客人搬到k+1号房间去住；这样原来的客人就都有房间住了，而1号房间就空出来了，可以让新来的客人去住（这段叙述如图1所示）。 　　图1? 已经客满的旅馆如何再安排1位旅客 　　这样，原来在“有穷”的情况下做不到的事情，在“无穷”的情况下就做到了。由此看出，“无限”与“有限”有本质的区别。 　　（2） 这样的旅馆客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人，老板能否安排？ 这时，老板可以先让原来房间里的客人都出来，然后重新安排，让1号房间的客人搬到2号房间去住，让2号房间的客人搬到4号房间去住，让3号房间的客人搬到6号房间去住，等等，让k号房间的客人搬到2k号房间去住；这样原来的客人就都有房间住了，而只占了偶数号房间，所有的奇数号房间都空出来了；有无穷多个奇数，这无穷个房间，正好可以让新来的无穷个客人去住（这段叙述如图2所示）。 ?　　图2? 已经客满的旅馆如何再安排1个具有无穷客人的旅行团 　　(3）这样的旅馆客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人，老板能否安排？ 　　这时，老板可以先让原来房间里的客人都出来，然后重新安排，让1号房间的客人搬到10001号房间去住，让2号房间的客人搬到20002号房间去住，让3号房间的客人搬到30003号房间去住，等等，让k号房间的客人搬到10001×k 号房间去住，这样原来的客人就都有房间住了（这段叙述如图3所示）。 　　图3? 已经客满的旅馆如何再安排1万个具有无穷客人的旅行团同时，给出了10000个、又10000个的空房间 ，第一个10000个空房间 ，可以让新来的10000个旅游团每个团的第1号客人住，第二个10000个空房间 ，可以让新来的10000个旅游团每个团的第2号客人住，等等；第k个10000个空房间 ，可以让新来的10000个旅游团每个团的第k号客人住，于是新来的10000个旅游团中每一个客人就都有房间住了 该问题进一步发展下　其实，如果我们对第二个层次的问题有了本质的理解，第三个层次的题就可以迎刃而解了。在第二个层次的问题中，让k号房间的客人搬到2k号房间去住，我们是用“偶数、奇数”的语言解释的。如果换一种说法，更能揭示问题的本质。 　　“让k号房间的客人搬到2k号房间去住”，这个2k里的2怎么来的？ 　　如果把原来客满的旅馆中住的客人当作一个有无穷个客人的旅游团，现在又新来了一个有无穷个客人的旅游团，1+1=2，共有两个这样的旅游团；本质上，2k里的2是这样来的。正是因为共有两个这样的旅游团，所以把房间按两个一份地进行分份，可以让这两个旅游团的第一号客人、第二号客人、…… 分别入住。 　　再类似地看第三个层次的问题，也就可以抓住本质了。如果把原来客满的旅馆中住的客人当作一个有无穷个客人的旅游团，现在又新来了10000个有无穷个客人的旅游团，1+10000=10001，共有10001个这样的旅游团；只要