Lucas计数函数的均值计算.pdf

第8卷第5期2008年3月 科学技术与工程 V01．8No．5Mar．2008 Science and 1671--1819(2008)5·-1270·-03 TechnologyEngineering Lucas计数函数的均值计算 张福玲 (渭南师范学院数学系，渭南714000) 摘要研究了著名的Lucas数列，并给出其计数函数均值的一个精确的计算公式。 关键词LucaB数列Fibonacci数列计数函数 中图法分类号0156．4； 文献标志码A 也就是说，任何一个正整数都可表示成Lucas数的 1引言及结论 和。对任意正整数，定义计数函数： 口(J7~，)=al+a2+…+a。。 著名的Lucas数列{￡。}及Fibonacci{只}数 列是由二次线性递推公式Fm=F州+F。，和本文将证明以下两个定理： 定理1对于任意正整数k，有 L柑=L。+1斗L。，n≥0，所定义，其中Fo兰1，Fl= 1，Lo=2，三。=1。不少学者对这两个数列的不同 特性进行了深入细致的研究。张文鹏在文献[1，2] 中利用初等方法给出了关于Lucas和Fibonacci数 列的一系列重要的恒等式。并在文献[2]中给出了 A。(L)，A：(厶)的计算公式，文献[3]给出了 A，(厶)，A。(L。)。本文将讨论A5(丘)。 鲁‰ 首先。考虑Smarandace广义基底。Smaran- 定理2对于任意正整数N，设它在Lucas基 dache定义自然数集上的无穷广义基底：1=go g。…gI…，他证明了对任意正整数Ⅳ都能被 …k。，则有 Smarandace广义基底唯一表示为：N=∑aig；，并 I=l 且0≤al≤f鱼L!11。这种基的概念在分拆理论 ‘ gi 。 研究中起着重要的作用。如果用Lucas数列代替， 就可以得到一组特殊的基。为简便起见，称之为 5∑A，(Ⅳ一∑k)+∑．(i一1)b Smarandache Lucas基。任意一个正整Ⅳ可由Sma- 2定理的证明 randache Lucas基表示为：N=∑aiLi，哦=o，1。 定理1的证明 为完成定理1的证明，需要引入以下几个引理： 2007年11月20日收到 渭南师范学院科研基金项目 引理1‘1|：At(屯) (OSVKS027)资助 =∑口(n)=kF¨。 0‘n《k 作者简介：张福玲，女，渭南师范学院讲师，西北大学在职硕士研究 引理2‘11：A2(t) 生，研究方向：数论研究，E-mail：zll柚gⅡ@wntc．edu．Cll。 。 O《n‘“ 万方数据 5期