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Poisson分布的参数函数无偏估计.pdf
第29卷第7期 重庆工商大学学报(自然科学版) 2012年 7月
Vol_29 N0.7 JChongqingTechnolBusinessUniv.(NatSciEd) Ju1.2012
文章编号:1672—058X(2012)07—0006—03
Poisson分布的参数函数无偏估计术
胡 祥,吴 涛,李健平
(安徽大学 数学科学学院,安徽 合肥230039)
摘 要:+-i-论了在Poisson分布情况下参数函数的无偏估计,并给出相应的证明和实例.
关键词 :泊松分布 ;线性函数 ;指数函数 ;无偏估计
中图分类号 :0211.3 文献标志码 :A
泊松分布是概率统计学科中一种重要的离散分布,在实际中有着广泛的应用,它常与单位时间或单位
面积及单位产品上的计数过程相联系.例如,在单位时间内,电话总机接到用户呼唤的次数,路 口通过的车
辆数,放射性物质放射出的口粒子数,每平方米玻璃上的气泡数等等都可以用泊松分布来描述 J.泊松分布
参数A具有明显的统计意义,对其估计方法与性质的研究是现代统计研究的重要课题,许多学者进行了研
究 4,而最常用见的是求参数A的无偏估计.
参数函数的估计也是研究的重点.风险集体中索赔次数服从一个P(A)分布,参数A未知,有些情况,使
用一个容易观察的理赔数据模型很方便,例如伽玛分布,适用于理赔分布的尾概率不是太重的情形,比如在
机动车险中自己车辆损伤情形.不同的参数分布解决不同的理赔问题,理赔泊松分布模型中,不仅仅涉及参
数A的估计,同时涉及参数A函数的估计.文献 [5]讨论了参数的倒数的估计.
在参数无偏估计中,人们并不是一味的应用参数A的无偏估计,有时更多的应用参数A函数的无偏估
计.此处给定泊松样本,考虑泊松分布参数函数在指数函数g(A)=en¨的无偏估计问题.
1 泊松分布的参数无偏估计
总体为泊松分布 e(a)时,设 , ,…, 为一个简单的泊松随机样本:
e(x=)=_^e~,=0,1,2,3
:
未知参数0=A0,可以证明样本均值 和样本均值方差:
1 n
JS=:七 刍∑(置一)
都是总体参数0=A的无偏估计.推广到一般情况下,对任意实数a,0≤o≤1,aX+(1一口)S也都是A的无
偏估计.可以看到参数的无偏估计不仅仅只有一个,可以有许多种,当然参数亦可能没有无偏估计.
收稿 日期 :2011—11—12;修回日期 :2011—12—20.
基金项 目:国家 自然科学基金;安徽大学创新团队(KJTD001B);安徽大学研究生学术创新项 目(yfc090008)
作者简介:胡祥 (1986一),男,安徽六安人 ,硕士研究生,从事统计计算及其应用研究.
万方数据
第7期 胡 祥,等:Poisson分布的参数函数无偏估计 7
2 参数函数的无偏估计
当 是未知参数0的无偏估计量时,g()不一定是 g()的无偏估计量.换句话说,在一定的情况下,
E(g(0)):g(0),也有可能E(g(0))≠g(0),甚至还有g(0)不存在的可能.
结论 1 设函数g(A)=aA+b,可以证明g(A)的无偏估计为g。(A)=。A+b.
证明 E(g(A))=E(0A+b):E(aA)+E(b)=aE(A)+b=aA+b=g(A),可以看出,线性函数情况
下,满足g(0)是g(0)的无偏估计量.但线性函数是一种简单的函数.并不是所有的函数都满足上述的情况.
结论2 设函数g()=gz(A)=e“,当k0,可以证明g(A)的无偏估计不是g()=ekX,而是g()=
(k+1) .
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