“高观点”下以对数函数为命题背景的高考试题研究.pdf

2014 年8 月 育 学论坛 Aug.2014 第34 期 EDUCATION TEACHING FORUM NO.34 “ 观点”下以对数函数为命题背景的高考试题研 王博威 （浙江省德清县综合高级中学，浙江 德清 313200 ） ： 、构造函数等技巧性非常 摘要 在全国各地的高考试卷中，有很多以对数函数为命题背景的压轴题需要利用分类讨论 ， 。本文试着利用高等数学中的知识来解决这些问 强的方法 并且解题过程繁琐，解法的通用性比较差，学生几乎无法动手 题，并且探讨了解法的通用性。 关键词：对数函数；“高观点”；拉格朗日中值定理 ： ： 中图分类号 G633.6 文献标志码：A 文章编号 1674-9324（2014）34-0113-02 ，结合高数知识、初等 ：（ （ -1 近年来以对数函数为命题背景 数 分析 I）、（II）略。至于 III），如果能够想到令x=n ，通 2 3 学的必威体育精装版研究成果的探究性试题在全国各地高考试卷中占 过做辅助函数F（x ）=ln（1+x）-x +x ，那么（III）的证明将成为 有一定比例，且有逐年增大的趋势。这就要求教师多运用 非常容易的事情。我们要问的问题是：命题者是在什么背景 ，这种 高 下想到这个不等式的？事实上，学过高等数学的人都知 ， 高等数学的方法解释一些初等数学中的问题 “ 观 点”教学对拓展学生的解题思路，提高解题能力，增加学生 x 关于对数有如下的基本不等式： ＜ln（1+x）＜（x ＞-1）， 学习数学的兴趣大有裨益。 x+1 一、以对数函数y=lnx的基本不等式为背景设计的考题 此不等式可利用导数的知识证之。在上述不等式中令x=n-1 ， 2 1 1 ， 例1（2007 山东卷 22） 设函数f （x ）=x +bln （x+1），b ≠ 则得ln 1+ x 蔀 ＞n+1 。这样上述的（III）是否成立就转化为： 0。（I）当b＞1 时，判断函数f（x ）在定义域上的单调性；（II） 1 1 1 n+1 n+1 1 1 1 1 2 ？ 1- ＞ - 是否成立 即 - = - = 2 蔀 求函数f（x ）的极值点；（III）证明对任意的正整数n ，不等式ln n+1