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一个新数论函数的渐近性质.pdf
第27卷第4期 新乡学院学报:自然科学版 2010年8月
、,bI.27NO.4 Journal ScienceEdition
University:Natural Aug.2010
ofXinxiang
一个新数论函数的渐近性质
邓俊兰
(南阳师范学院数学与统计学院,河南南阳473061)
摘要:定义了一个新的数论函数力(甩!),并利用nf的标准素因数分解式以及2个重要渐近公式,给出了
该数论函数的一个较强的渐近公式。
关键词:数论函数;素因数分解;渐近公式
中图分类号:0156.4 文献标志码:A 文章编号:1674-3326(2010)04-0006--02
The FormulaofanArithmeticalFunction
Asymptotic
DENG
Jun.1an
ofMathematicsand Normal
(School Statistics,NanyangUniversity,Nanyang473061,China)
in
Abstract:Anewarithmetical definedthis thestandard
function口01)is paper.Thenusing prime
factorizationof一!andtwo formulas。a formulaofthearithmetical
importantasymptotic sharpasymptotic
functionisobtained.
words:arithmetical formula
Key function;standardprimefactorization;asymptotic
O 引言
自变数n在某个整数集合中取值,因变数Y取复数值的函数Y=厂(,1)被称为数论函数或算术函数。在
许多数论问题的研究中,数论函数起着十分重要的作用。很多数论教材研究了口0)这个重要的数论函数,
笔者将在此基础上先定义一个新的数论函数力(刀!),利用甩!的标准素因数分解式以及2个重要渐近公式来
研究t/(ntl的渐近性质,并给出一个较强的渐近公式。
1 引理
U, 疗=I;
的全部素因子的个数【11。
而矿+1不能整除nt),那么,口=口(p,,1)=∑[n/pJ】。
.tffi;
证明:等式右边实际上是一有限和,由于必有整数k满足P‘≤甩≤P“1,这样,等式就是
口=Etn/pJ】。 (1)
J=l
设,是给定的正整数,c,表示1,2,…,”中能被∥整除的数的个数,办表示1,2,…,n中恰好能被P’整
除的数的个数。显见,d,=c,一c,+l。
由文献【1】中的定理可知,勺=【n/pJ】,因而,有
嘭=【玎/p1_【力/∥“】。 (2)
容易看出,当Jk时,有d,=0以及
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