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第27卷第4期 新乡学院学报：自然科学版 2010年8月 、，bI．27NO．4 Journal ScienceEdition University：Natural Aug．2010 ofXinxiang 一个新数论函数的渐近性质 邓俊兰 (南阳师范学院数学与统计学院，河南南阳473061) 摘要：定义了一个新的数论函数力(甩!)，并利用nf的标准素因数分解式以及2个重要渐近公式，给出了 该数论函数的一个较强的渐近公式。 关键词：数论函数；素因数分解；渐近公式 中图分类号：0156．4 文献标志码：A 文章编号：1674-3326(2010)04-0006--02 The FormulaofanArithmeticalFunction Asymptotic DENG Jun．1an ofMathematicsand Normal (School Statistics，NanyangUniversity,Nanyang473061，China) in Abstract：Anewarithmetical definedthis thestandard function口01)is paper．Thenusing prime factorizationof一!andtwo formulas。a formulaofthearithmetical importantasymptotic sharpasymptotic functionisobtained． words：arithmetical formula Key function；standardprimefactorization；asymptotic O 引言 自变数n在某个整数集合中取值，因变数Y取复数值的函数Y=厂(，1)被称为数论函数或算术函数。在 许多数论问题的研究中，数论函数起着十分重要的作用。很多数论教材研究了口0)这个重要的数论函数， 笔者将在此基础上先定义一个新的数论函数力(刀!)，利用甩!的标准素因数分解式以及2个重要渐近公式来 研究t／(ntl的渐近性质，并给出一个较强的渐近公式。 1 引理 U， 疗=I； 的全部素因子的个数【11。 而矿+1不能整除nt)，那么，口=口(p，，1)=∑[n／pJ】。 ．tffi； 证明：等式右边实际上是一有限和，由于必有整数k满足P‘≤甩≤P“1，这样，等式就是 口=Etn／pJ】。 (1) J=l 设，是给定的正整数，c，表示1，2，…，”中能被∥整除的数的个数，办表示1，2，…，n中恰好能被P’整 除的数的个数。显见，d，=c，一c，+l。 由文献【1】中的定理可知，勺=【n／pJ】，因而，有 嘭=【玎／p1_【力／∥“】。 (2) 容易看出，当Jk时，有d，=0以及