一类2n阶超线性奇异边值问题正解的存在性.pdf

第29卷第7期 重庆_T-商大学学报(自然科学版) 2012年 7月 V01．29 NO．7 JChongqingTechnolBusinessUniv．(NatSciEd) Ju1．2012 文章编号：1672—058X(2012)07—0016—07 一 类 2 阶超线性奇异边值 问题正解的存在性 郭 荣，唐义立，朱永芳 (安徽大学 数学科学学院，合肥 230039) 摘 要：利用锥压缩和锥拉伸不动点定理，得到一类高阶超线性奇异边值 问题的c [0，1]和 C [O，1]正解存在的充分条件． 关键词：超线性；奇异边值问题；锥压缩和锥拉伸不动点定理 中图分类号 ：0177．91 文献标志码 ：A 1 引言及预备知识 随着具有奇性的常微分方程在物理学中的应用，对奇异边值问题的研究引起了学者的广泛兴趣．当文 中的函数 在端点t=0和 t=1无界时，问题 (1)和(2)是奇异的．文献 [1]利用锥上的不动点定理讨论了一 类四阶次线性奇异边值问题正解的存在性．而后，文献 [2]和文献 [3]研究了高阶次线性奇异边值问题：文献 [3]利用算子的不动点理论进行了讨论 ，而文献 [2]则利用了单调迭代的方法给出了奇异边值问题正解的存 在性．文献 [4]利用锥压缩和锥拉伸不动点定理研究了四阶超线性和次线性结合的奇异边值问题正解的存 在性．文献 [1]和文献 [5]主要运用锥拉伸与锥压缩不动点定理讨论了四阶超线性奇异边值问题正解的存在 性．此处在文献 [1]和文献 [5]的基础上，讨论了一类含有所有偶数阶导数的高阶超线性奇异边值问题正解 的存在性． 此处研究的是下述的含有所有偶数阶导数的2 阶超线性奇异边值问题： (一1) ‘’(t)=，(，x(t)，一 ”()，…，(一1) ‘，…，(一1)一“ ‘一 (t))，Vt∈(0，1) (1) 。‘‘(0)= ‘’(1)=0，i=0，1，…，n—l (2) 记 ，=[0，1]，J=(0，1)，R =(0，+∞)且假定： (H)feC(JX(R )，[0，+o。))，在 t：O与t=1是奇异的，且存在常数A， ，(1A≤ ，i=0，1，…， n一1)，使得对于t∈(0，1)， ∈(0，+∞)，有： c厂(t，o，l，…，，…，一1)≤毛 t，0，1，…，蹦i，…，一1)≤ c^／t，o，l，…，i，…，一1)，0≤c≤1 (3) c^／．(t，0，1，…，，…，一1)≤三厂(t，o，l，…， ，…，一1)≤ t， 0， 1，… ， ，… ， 一 1)，c≥1 (4) 其中式(3)与式(4)可以互相推出． 收稿 日期 ：2011—09—20；修回日期：2011—11—16． 作者简介：郭荣(1984．)，女，山东菏泽人，硕士研究生，从事泛函微分方程研究 万方数据 第7期 郭 荣，等：一类2n阶超线性奇异边值 问题正解的存在性 17 注：t，，2，…，)=∑Pi(t)xll~ … ，其中Pi(t)0，Pi(t)∈(0，1)，1，．『=1，2，…，m；k= i=l 1，2，…，，满足上述超线性条件 (3)(4)． 假设 t，1，1，…，1)≠0，t∈(0，1)，则j0 1，使得 minf(t，1，1，…，1)=丁00，Jo=[a，] (5)