一类具有Holling-Ⅱ型功能函数的捕食模型.pdf

鲁东大学学报 (自然科学版) LudongUniversityJournal(NaturalScienceEdition) 2012，28(4)：296—001 一 类具有 Holling—II型功能函数的捕食模型 张 金 陵 (徐州高等师范学校 数理系，江苏 徐州 221116) 摘要：讨论了～类具有Holling—II型功能反应 函数的捕食者——食饵模型，研究了该系统的平衡点，得到了 正平衡点的全局稳定性，并利用 Mawhin重合度理论中的延拓定理得到该模型至少存在一个正周期解． 关键词：捕食者一食饵模型；重合度理论；Holling．II型功能函数；周期解 中图分类号：O175．14 文献标志码：A 文章编号：1673—8020(2012)04-0296-06 最为经典的捕食一食饵模型是由洛特卡和沃尔泰勒于 1925年提出的地中海鲨鱼问题，这一模型被 后人称为 Lotka—Volterra捕食模型，简称 L—V模型．沃尔泰勒运用这一模型对 V．Dancona提出的问题做 了满意的回答．由于L-V模型在研究种群生态学中发挥了不可替代的作用，因此受到许多学者的青睐， 并围绕该模型进行了大量的推广和修正，得到了许多有现实意义的数学模型_】 ．这种模型认为功能反 应函数与食饵数量成正比，食饵数量越大，在单位时间内，捕食者吃掉的食饵数量就越多，这在一定程度 上是合理的．但是，捕食者总有吃饱的时候，1965年，Holling通过实验数据和野外考察，根据不同的物种 提出了三种功能反应函数 () J．后来的很多数学生态学工作者对于功能反应函数做了改进和完善， 对具有Holling功能函数的捕食者一食饵模型进行了大量研究，尤其是国内学者在这方面做了更为深入 和系统的探索 ．由于周期现象普遍存在于 自然界中(如季节、食物、交配习惯等)，本文针对一类具 有Holling．II型功能反应函数的捕食者一食铒模型进行定性分析，讨论平衡点的稳定性，研究周期解的 存在性． 1 平衡点及其稳定性 』l ㈤ ，一 ㈩ 一 -c( )， 由生态学的实际意义，本文仅在D={(，y)I ≥0,y≥o／进行讨论，并记 = {(，y)l 0,y 』吕 。‘+。1一6一mly’ (2) dd【z=y(一c+口z)． 其 中，口 ：。一6，。 =m 一c．再作变换： = ，y = ，d￡=cd,-／仍记( ，)，，t)为(，y，t)，则系 收稿 日期：2012-07-20；修回13期 ：2012-10-05 作者简介：张金陵(1974一)，女，江苏徐州人。讲师，硕士，主要研究方向为应用微分方程。E-mail：zjlcumt@126．COITI。 万方数据 第4期 张金陵：一类具有 Holling—II型功能函数的捕食模型 297 玩 (2)化 为 ： f：6-+62一63一y’ (3) d出【y=y(一1)． 其中，6=詈0，6：=不定号，6s=等0． 解方程组』(6-+6：一6，一y)=0，易得：当6。+6：一6，≤o时，系统(3)有两个平衡点 (0 ty( 一1)=0