一类抽象函数题型的解法探究及推广.pdfVIP

2012年第 1O期 中学数学研究 41 一 类抽象函数题型的解法探究及推广 江西省赣州市第一中学 (341000) 彭小明 2010年重庆市高考理科数学第 15题 ： 证明：．‘‘ )=--cos( )．’． ) Y)=m 已知函数厂()满足 1)：÷，4厂()Y)= × c0s((ox)×~cos(y)√^(+Y)+ 一Y)= +Y)+ —Y)(，E)，贝0 2010)=— — ． -- ( + +2 本题考察了形如函数 )满足 +Y)+ COS( + )，)+--COS(( —一o)y))== cco。ss(( ) m m — Y)=mf( )(m ≠0)的抽象函数题型．解决 COS(wy)__．．，(+Y)+ —Y)= ) Y)其中 抽象函数题型问题通常两类方法：一是赋值法、二是 当m=2时，函数I厂()是对任意实数 ，y满足 + 构造函数法．本文就解决这类抽象函数题型介绍赋 Y)+厂I(— )= )I厂(Y)的抽象函数．可以构造函 值法和构造函数法及推广． 数 )=eOSX， 一 、 赋值法 2．形如函数_厂()对任意实数 ，Y满足 +)，) 令 =1，Y=0由 1)= 1得-厂(0)= 1 +-厂(—Y)=2f()cosy的抽象函数题型．可以构造 ． 函数-厂()=sinx，可利用三角函数公式证明(略) 方法一：令 =1，Y=1得厂(2)=一一1，依次计 分析：对于函数I厂()对任意实数 ，Y满足 +Y)+-厂( —y) =2厂()cosy则 函数 ) = 算 l厂(3) 4) 5) 6)…… 寻得周期 为 6，则 I厂(2010)=_厂(0)=1／2 0)eOSX+ 等)sinx． 方法二：令Y=1得-厂()=-厂(+1)+-厂(一1) 证明：’． +y)+ —y)= )cosy，令 ①则 +1)= +2)+ )② 由①②厂(+ =0，y=t则_厂(t)十八一t)=2厂(0)COSt① 令 = 2)+ 一1)=0且口八 +2)=-f(一1)即，(+ 3)=一I厂()则函数，()的周期为6．则 2010)= ≥十，Y=詈则厂(t+7r)十，()=0② 令 =芋， 厂(0)=÷ Y= +f则 +7r)+ 一￡)=一 )sint③ 二、构造函数法 由① +② 一③得 )= o)cost+ )sint， 由于COS(+Y)+eOS(~一Y)=2cosxeosy可知 ： 函数厂(