一类新Riccati型方程的可积性及其应用.pdf

第 卷第 期 南阳师范学院学报（自然科学版） I8 J! 8 13 ! 3 （ ） 年 月 789:;, 8= ,;?,;@ AB,+CB:DE F8B@B ,-9:, G+*B;+BD H5*-*8; 79; J !( ! ( 3 一类新)*++,-* 型方程的可积性及其应用 张 学 元 （湖南工程学院数理系，湖南 湘潭’%%%’ ） 摘 要：对一类新)*++,-* 型微分方程，在平凡情形下，证明了它是可积的；在非平凡情形下，给出了可积的一个实用的 充分判据及其通解的表达式。作为应用，导出了一类新二阶变系数线性齐次微分方程的可积性。 关键词：新)*++,-* 型微分方程；可积性；通解 中图分类号： 文献标识码： 文章编号： （ ） . %/0 1 % 2 %3/% # 3%(! !( 3 # %$ # 0 引言 ［］ % 习知 ，著名的)*++,-* 方程不仅在历史上有重要的应用，它也在现代控制论和向量场分支理论中常 有出现。由于工程技术希望尽可能找到精确解，因此对)*++,-* 方程的求积仍不失它的时代意义，曾引起 ［ ］ 当今许多数学工作者的兴趣! 4 0 。本文用不同于前人的方法，讨论了一类新)*++,-* 型方程的可积性，从 而得到与前人不同的新的可积类。 % 新)*++,-* 型方程的可积性 考虑形如下的)*++,-* 型方程 （） 5! $ % ! % ! （） （） ［ （） （）］， （） # ! $ ! # ’( ! # 6( # )( % % （） （） 5 $ $ 其中 （），（）是可微函数，且 （）不恒为零；，，均为常数。 $ ( $ ’ * ) 我们分两种情形来讨论方程（）的可积性。 % 平凡情形： （） ,(! （） %1 % ( % + 当 （） ! （），即 （） % 时（其中 、为不全为零的常数），方程（）成为（其中 换成 ( % + ,( ( , - % * , # - * # ), ）： （） ’ 5! $ % （）! * 。 （） # ! $ ! # ! # ! !