一类非线性四阶波动方程的位势井方法.pdf

!# ，!#（$ ）：%’ ( %$’ 一类非线性四阶波动方程的位势井方法! )，! 张宏伟* ! 陈国旺 ) ! （郑州工程学院数理系* 郑州+! ；* 郑州大学数学系* 郑州+! ） 摘要：该文讨论非线性波动方程, . , 0 !（, ）. 1（/ ，- ）的初边值问题2 证明了整体弱解的存 -- //// / / 在性，还证明了整体广义解的存在唯一性和整体古典解的存在唯一性2 关键词：非线性四阶波动方程；初边值问题；整体解的存在性；位势井方法2 $%（! ）主题分类：#3# ；#4#* * 中图分类号：5)%2 !6* * 文献标识码：7 文章编号：)#8#66’（!# ）$8%’8)) ’( 引言 文［)］在对弹塑性微观结构进行弱分析时，研究了一维弹塑性杆的纵振动问题，提出如 下的模型方程 ! ! # ! % （! ）# ’（$ ）， （)( ) ） $$$$ $ $ 其中未知函数!（$ ， ）表示位移，’ （$ ）是给定的函数， 9 是常数，下标$ 和 分别表示对$ 和 求偏导数，进一步研究了方程（)( ) ）的特殊解，特殊解的不稳定性以及常应变解的不稳 定性等，并指出在’ （$ ）0 的假定下，方程（)( ) ）可以化为:;,=?@ 方程 ! # ! % （!! ）( （)( ! ） $$$$ $$ 关于:;,=?@ 方程和它的广义方程已用各种方法得到了精确孤立子解，例如见文［! ( ］， 对于它们的初边值问题或初值问题，最近也有一些结果，见［$ ( )+ ］( 在文［) ］中研究了较 方程（)( ! ）更广泛的方程 ! # ! % ! （! ）# ’（$ ， ），* * $ （ ，) ），* ) （)( # ） $$$$ $ $ 具有几种边界条件的定解问题，应用压缩映射原理，证明了整体广义解或整体古典解的存 在唯一性，并给出了整体广义解或古典解不存在的充分条件，但是对于作为方程（)( # ）的特 殊情形的方程（)( ) ）具有初边值条件 !（ ， ）% !（)， ）% ，* ! （ ， ）% ! （)， ）% ，* * # ， （)( + ） $ $ !（$ ， ）% （$ ），* ! （$ ， ）% # （$ ），* * $ ［ ，)］ （)( ） 的定解问题，文［)］只证明了局部广义解的存在唯一性，没有解决整体解的存在性问题( 本文将应用位势井方法证明初边值问题（)( # ）( （)( ）在不同假设条件下存在整体弱 解、唯一整体广义解和唯一整体古典解( 在问题（)( # ）( （)( ）中! （$ ， ）表示未知函数， ! 收稿日期：!!8#8)6 万方数据 ! 基金项目：国家自然科学基