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一道课本习题的解法探究与延伸.pdf
2013 年第12期 福建中学数学 39
一道课本习题的解法探究与延伸
孟 涛 福建省厦门大学附属实验中学（363105）
人教 A 版教材高中数学必修二第 133 页第 8 题： AP 2 +AQ 2 +PQ 2
在直角 ΔABC 中，斜边BC 为 m ，以BC 的中点O 为 x 2 =+y 2 +(c −x )2 +(b −y )2 +4n 2
2 2 2 2 2
m 2(x =+y −cx −by ) +b +c +4n
圆心，作半径为n(n ) 的圆，分别交BC 于 P ，Q
2 2 2
2 b +c 2 2 2
两点，求证 AP 2 + AQ 2 + PQ 2 为定值． 2(n =− 4 ) +b +c +4n
2 2
解法 1 如图 1 ，建立直角坐标系，设坐标 2 b +c
6n =+ ，
A(0 ，0) ，B (0 ，b) ，C(c ，0) ，P (x ，y ) ，Q(x ，y ) ， 2
1 1 2 2
2 2 2
∵b +c =m ，
P Q
， 两点所在的圆的方程与点
2
2 2 2 m 2
B ，C 所在的直线方程联立： y ∴AP +AQ +PQ =+6n （定值）．
B P 2
⎧ c b 2
(x − ) +(y − ) n ， O 分析 上述两种解法在学生作业中出现比较多，
⎨⎪⎪ 2 2 Q 因为这种建立坐标系的方法更符合学生的思维习
⎪⎪x +y 1，
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