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三角函数的推广.pdf
‘ 第14卷第l期 高等数学研究VoL14.№.1
2011年1月 STUDIESINC()LLEGEMATHEMATlCS Jan..2011
三角函数的推广
徐斌
(思茅师范高等专科学校数学系,云南普洱665000)
摘 要 利用函数方程定义仿正切函数类,再用仿正切函数定义仿正、余弦函数类.并对这些函数类进行研
究.所定义的函数类中的函数具有通常三角函数的性质及运算规律.故而可将其作为三角函数的某种推广.通过实
例证实.了通常的正切函数其实是仿正切函数的一种解析延拓.
关键词 函数方程f仿正切函数;仿正弦函数;仿余弦函数
中图分类号 ()124.1 文献标识码 A 文章编号 1008一1399(2011)Ol—0039一03
早在古希腊时代,人们就知道“相似三角形的对
1一尸(要)
应边成比例”.这是三角函数的根源,也是其本质所 ^(z)=—————L。
在,所以三角函数起源于几何中的边角关系.到了近 1+尸(要)
厶
代,人们将三角函数作为一般的函数来研究它们的
则称g(z)为D上的“仿正弦函数”,D上的所有仿正
代数性质[1嵋].
弦函数组成的集合称为D上的“仿正弦函数类”;称
本文则是以考查抽象性态为观点,利用函数方
^(z)为D上的“仿余弦函数”,D上的所有仿余弦函
程抽象的定义了仿正切函数类,再用仿正切函数定
数组成的集合称为D上的“仿余弦函数类”.
义仿正、余弦函数类,并对这些函数类进行了研究.
定义1 设D是实数域R的子域,定义在D上 注l 由“z∈D”等价于“要∈D”,知g(z)与
厶
的实函数厂(z)若对于任意z,y∈D有 ^(2)的定义域都是D.
{b七郝一t蛐七酗七{㈦l蛐弛七◇。 命题l 设厂(z)是一个D上的仿正切函数,则
则称,(z)是一个D上的“仿正切函数”;D上的所有
厂(0)一O.
仿正切函数组成的集合称为D上的“仿正切函数类”. 证明 在定义1中令
定义2 设,(z)是一个D上的仿正切函数,
z=,=Q,
2,(睾) 则有
g(z)=———』一, 厂(0)一2厂(O)+尸(O),
。1+尸(要)
也即
厂(o)[1+尸(o)]=o,
收稿日期:2009—05一09}修改日期lz010一lO一22.
由于
作者简介:徐斌(1983一),男,云南玉溪人.研究生
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