不等式恒成立问题的常用解法.pdf

中掌生数理亿．学研版 不等式恒成立问题的常用解法 ■王 薰 高三数学复习中的恒成立问题，涉及一次 函数 、二次 函数 的性质 、图像 ，渗透着换元、化 归、数形结合、函数与方程等思 想方法．恒成立 问题在解题过程 中大致可分为以下几种类型 ： ①一次函数型 ，②二次 函数型，③变量分离型 ，④根据 函数的 fⅢ一 1 0， 奇偶性 、周期性等性质，⑤直接根据函数的图像 ． ’m一≠。时，只需1{A一一((m--11))一一8((一一1))0．． 一 、 利用一次函数的性质 对于一次函数 ，()一kx+b，∈ m，]，，(z)0恒成 立㈢ 。恒成立㈢ ’ R恒有z≤，()≤÷(z。+1)，求函数，()的表达式． 例 1 若不等式 2x一1m(z一1)对于满足一2≤m≤2 的所有 m都成立 ，求 的取值范围． 解 ：我们可 以用改变主元 的办法 ，将 视为主变元 ，即将 则 ： 一丢一÷～所以f(x)=ax2+ 原不等式化为 ：m( 一1)一(2x一1)O． 令 f(m)一 ( 一 1)一 (2x一 1)，则 一2≤m≤2时 ， ÷z+÷～ ，^(m)0恒成立． 又 ／、()≥ 恒成立 ，即 n 一 1z+ 一no恒 成立 - 2) ， f( ~ 。 BⅡ --2(x2-1)- (2x-1)。’ 只 ／ ， 2 【r() 。 fI。。， f~n． 1 ．‘ 所以的取值范围是∈(二 ，2)． · ‘ 1△一一1_4a(2一口)≤。． (1--4口)≤。．一百’ 例 2 已知 ，()一n+bcosx+csinx的图像过 A (0，1)， · ． ． ，(-z)一1+÷z+÷ B(T，1)两点，当z∈[o，号]时，恒有If(z)l≤2，求实数n 的取值范围． 解 ：．‘‘f()一日+bcosx+csinx 的 图像 过 A (0，1)， B(詈，1)， fn+6— 1， f6— 1一n， 。 ． ． ? =? ln+ c一0． If= 1一 “． 。 ． ． 1厂()一n+ (1一n)COSJC+ (1一