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42 福建中学数学 2013 年第2 期 从一道题的五种解法谈对数量积的认识 赵寿锋 河北省沧州市第一中学（061000） 2012 年河北省石家庄市高中毕业班教学质量检 勾股定理求解，比解法一灵活、运算简便，值得我 测卷第 15 题是一道直接考察向量的数量积的题目， 们借鉴．事实上，很多平面图形中的斜三角形都可 笔者认为该题设计虽然朴实无华，中规中矩，但是 以通过构造直角三角形解决，降低运算量． 高中阶段求数量积的所有可能用到的方法都可以解 解法三 由点M 作 MD ⊥AC ，垂足为D ， 答该题，是一道有助于深刻理解数量积的好题目． 则 CD 是 CM 在 CA 方向的投影， ° 题目 在 ∠C 90 ΔABC 中， ，CA CB 3 ，点M 由于ΔMAD 是等腰直角三角形， 满足 BM 2AM ，则CM ⋅CA ． 故 CD 6 ，∴CM ⋅CA 3 =×6 18 ． 解法一 如图 1 所示，易知点 A 是 MB 的中点， 评析 本解法从数量积的几何意义入手，通过求 ° 因此MA AB 3 2 ，∠MAC 135 ， CM 在 CA 方向的投影解决问题，简洁明快．当然， 在 ΔMBC 中，由余弦定理， 类似的，也可以由点 A 作 AE ⊥MC ，垂足为E ，则 M C2 MB2 =+BC2 −2 MB ⋅BC cos ∠B ， CE 是 CA 在 CM 方向的投影，同理可得．姑且称之 可得 MC 3 5 ． 为“几何意义法” ，这是从“形”上认识数量积，是第二 在 ΔMAC 中，由余弦定理， 层次． 2 2 2 MC +AC −MA 2 5 解法四 ∵CM CA =+AM ，且| CA | 3 ， cos ∠MCA ， ° 2MC ⋅AC 5 CA ⋅AM 3=×3 2 ×cos 45 9 ， ∴CM ⋅CA | CM | =⋅| CA | cos ∠MCA 18 ． ∴CM ⋅CA (CA =+AM ) ⋅CA 评析 本解法从解三角形的角度切入，利用余弦 2 2 CA +AM ⋅CA 3 =+9 18 ． 定理，依据数量积的定义，分别求出 CM ，CA