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从函数定义域谈学生数学思维品质的培养 谷杨 (重庆市铜粱中学重庆铜梁 402560) 摘要：数学思维品质是指个体在数学实践或数学训练中所表现出来的思维活动的外部特征，它包括思维的严密性、灵活性、深刻性、批判性和 敏捷性等品质。然而高中数学中函数是一条主线，函数的定义域又是函数的三大要素之一，单纯地求解函数的定义域似乎很简单，然而在解决实际问 题中稍不注意，就会得到错解。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是非常重要的。下面本人就函数定义 域教学与数学思维品质的培养来浅谈自己的看法。 关键词：高中数学函数定义域思维品质 学生进入高中，学习集合这一基本工具后，就开始了高中函数的学 ．-．函数y=工2—4工一5在【l，4】上的最小值是-9，最大值是一5． 习。用集合的观点定义了函数，进而开始了对函数的研究。然而，不管是求 这个例子说明，在函数定义域受到限制时，应注意定义域的取值范围 函数解析式、值域，还是研究其性质，都离不开对定义域的研究。 对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，这说明思维的灵活 一、函数关系式与定义域 性很重要。 函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须 三、函数单调性与定义域 要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如： 函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函 例l：用篱笆围—个矩形菜园，现有篱笆总长度为100m，求矩形菜园数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上 的面积s与矩形长x的函数关系式? 进行。如： 解：设矩形的长为x米，则宽为(50一x)米，由题意得：s=(50_x) 例4：求出函数f(x)=ln(4+3x一妁的单调区间． 故函数关系式为：s-x(50-x)． 解：先求定义域：+．‘4+3z—x2o．。．一lJ4 如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的 ．’．函数定义域为(一l，4)． 范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于 令”=4+3x—z2，知在xE(二，+。)上时，u为减函数， 50的数时，s的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所 在ze(吨搴上时，u为增函数。 以还应补上自变量x的范围：Ox50 又-．。，(工)=ln“在(0，+m)是增函数 即：函数关系式为：s-x(50-x)(Ox50) 即函数埘=l蝉+ko)的单调递增区间(_m，勺，单调递减区间是峙，忡)。 这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定 如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性， 义域的取值范围对实际问题的影响。这体现了思维的严密性，培养学生此 就说明学生对函数单调性的概念一知半解，在做练习或作业时，只是对题 项品质是十分必要的。 ． 型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。 另外如：y-x和y=二虽然对应关系相同，但定义域不同，也是不同 的函数。 减区间是(二，4)。 二、函数值域与定义域 四、函数奇偶性与定义域 函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定， 判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原 函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如： 点成中心对称，如果定义域区间关于坐标原点不成中心对称，则函数就无 例2：求函数y=4x一5+√2j一3的值域． 奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。