代数与几何的有机结合是解析几何教学的关键.pdf

第=十=卷第九期 楚雄师范学院学报 V01．22No．9 OFCHUxIONGNORMALUNIVERSrrY 2007年9月 JOURNAL Sep．2007 代数与几何的有机结合是解析几何教学的关键 顾利勤马 立 (曲靖师范学院，云南曲靖655011) 摘要：在解析几何教学过程中应注重代数与几何的有机结合，画图和用图贯穿教学始终，展 现学科特点，提高教学效果。 关键词：解析几何；代数；几何；坐标法 恩格斯在其著名的《自然辩证法》中对解析几何的创立给予了很高的评价：“笛卡尔的变 量是数学的转折点。有了变量，运动进入了数学，辩证法进入了数学，微积分的产生就立即成 为可能的了。”uo可以这样评价解析几何的地位：初等数学是常量的数学，高等数学是变量的 数学，而解析几何则是由初等数学向高等数学的过渡和转折。《解析几何》在当今大学数学专 业课程教育中仍经久不衰，而且在中学数学课程中占有重要的地位。在师范院校，通过《解析 几何》的学习又对学生今后从事中学数学教学具有指导作用。更为重要的是《解析几何》的研 究方法渗透到了数学许多学科的研究之中。 在高中数学体系中，解析几何是经典内容，有些数学问题用常规方法去解决往往运算比 较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程，新课程高考则突出了对向量与解析 几何结合的考查，使中学生更能体会解析几何这一双面工具(几何的代数表达与代数的几何 解释)的重要作用。为此，师范院校更应加强《解析几何》的教学。 目前，许多院校已将高等代数与解析几何合而为一，并对合并后的教学问题进行了较为 深入的探讨(见[2—4])，而一些合并后的教材过于强调代数结构，《解析几何》内容被大大削 弱，成为附属，不能很好地展现其学科特点，这不利于中学数学教师的培养。在《解析几何》教 学过程中注重代数与几何的有机结合，才能达到良好的效果。 1．《解析几何》的生命力在于代数与几何的有机结合 《解析几何》的生命力在于代数与几何的有机结合。就内容篇幅而言，《解析几何》比《数 学分析》、《高等代数》都要少得多。但是，对于《解析几何》而言，决定的因素不是其研究对象 和内容，而是它的研究方法。 1．1 几何结构的代数化 几何学本来属于空间形式范畴。而《解析几何》的基本思路就是用代数的方法来研究几 何。把几何的研究从定性的研究推进到可以计算的定量的层面，最根本的就是把空间的几何 收稿日期：2007。07—14 作者简介：顾利勤，曲靖师范学院数学系副教授，主要从事解析几何教学研究。 ·17· 楚雄师范学院学报2007年第9期 万方数据 楚雄师范学院学报 2007年第9期 结构有系统地代数化、数量化，而矢量代数的引人和坐标的建立就是将空间的几何结构代数 化的基础。现代解析几何首先是在空间引入矢量及其运算，并通过矢量来建立标架。在空间取 一定点0，空间的任一点P就与0为始点的径矢oP一一对应起来。而径矢o,6又与其在某一基 底下的分量(有序数组)对应起来。这样一来，涉及点的几何问题就与矢量联系起来了。由于矢 量可以进行运算，于是很自然地就把代数运算引入到几何中来了。在定义了矢量的加法、数 乘、内积运算及相应的运算规律后，实际上是把空间的几何结构代数化为欧几里得矢量空间 的一个具体模型。在这个模型中，几何推理被转化为矢量代数的演算，代数方法被自然地引入 到几何之中。再通过标架，建立了点——矢量——有序数组之间的一一对应关系，这样又使 得空问的几何结构进一步数量化。点构成曲线(面)，变数构成方程，点与数组既因坐标系的建 立而结合起来，曲线(面)与方