代数体函数的正规定理.pdf

华南师范大学学报(自然科学版) 2009年5月 JOURNALOFSO唧CHINANORMALUNIVERS兀Y 2009年第2期 SCIENCE May2009 (NATURALEDm0N) No．2，200|9 文章编号：1000一5463(2009)02—0009—03 代数体函数的正规定理 王辉坚，孙道椿。 (华南师范大学数学科学学院，广东广州510631) 摘要：运用覆盖曲面的几何方法，证明了代数体函数族一个正规定理：设F为区域D内的一族矗值代数体函数，且F 的分支点是孤立的．若对Vp∈D，总存在一个含于D内的邻域以P)，使得在￡，(P)内，对每个Z∈，存在3个判别的 3 复数％，％，％，满足∑瓦(￡，(P)。口。z)≤l，则F在D内正规． ‘lI 关键词：代数体函数；分支点；覆盖曲面；正规族 中图分类号：0174．52 文献标识码：A (≥2)值代数体函数，可以看出它具有以下性质： 1引言及主要结果 亚纯函数的正规族理论是函数论的重要组成部 是可得诸五(z)都不取2后个值幻，=e和，毗：尊‰ 分，具有多方面的应用．关于亚纯函数的正规定则已 (Z=O，1，2，…，后一1)． 有相当丰富的结果．然而，代数体函数由于多值性与 分支点的复杂性，关于正规族的研究成果极少．孙道 椿和杨乐在文献[1]中证明了： ±l，±2，…)为其支点． 定理A设F是区域D内的一族后值代数体函 显然F的分支点既有无穷多个也非分担的，故 数，6是一个任意正数，若对任意函数，∈F，恒存在 无法用文献[2]的结果来判断，在C＼{O}内的正规 集合△=厶∽满足l△l。≥6，使得八D)n△=f2j，性．但若用本文给出的结论，则容易得出F在C、 则F在区域D内正规(按Haus(10m距离，l△l。表{0}内正规． 示△的球面面积)． 下面给出本文的结论： 显然，定理A中，所不取的值为一球面面积大 定理1设F为区域D内的一族后值代数体函 于零的集合，这与亚纯函数不取3个值的正规族定 数，且F的分支点是孤立的．若对D内的任一点p， 理(Montel定理)尚有一定的距离． 总能找到一个含于D内的小邻域U(p)，使得在 在对分支点加以限制条件下，柳学坤和孙道椿 u(p)内，对每个Z∈F存在3个判别的复数％，口吐， 在文献[2]中推广了定理A，得到了： 定理B设F是区域D内的一族孟值代数体函 数，其每个函数的分支点是分担的，若F中每个函 正规． 数都不取固定的3个互异复数，则F在区域D内 推论l设F为区域D内的一族后值代数体函 正规． 数，若F中所有函数的分支点做成一个有限集，且 显然，定理B中对分支点的限制过多．例如：设 存在固定的3个互异复数口，，n：，口3，使得对每个厂∈ r ●l『=i—T1 F都有∑元(D，口‘∽≤l，则F在D内正规． F2{五(z)2√；{{j是定义于c、{o}内的一族后 收稿日期：2∞8一∞一∞ 基金项目：国家自然科学基金资助项目；高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20050574002) 南昌人，博士。华南师范大学教授，博士生导师，E—lil：刚ndch@*nu．o“．cn． ·通讯作者 万方数据 10 华南师范大学学报(自然科学版)