代数学中若干概念的认识.pdf

科技展望 2015/15 代数学中若干概念的认识 杨群广 （安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽  芜湖  241003） 【摘　要 】本文阐述了向量空间、F-代数、结合代数、李代数的概 2 关系探讨 念，重新探讨了它们之间的关系. 从上面的这些定义可以看出 ： 【关键词 】向量空间  F-代数  结合代数  李代数 （1 ）向量空间是作为域上 的代数 、结合代数 、李代数 的底 空 间的角色 出现 的；而结合代数 的定义又是 以域上 的代数作为 在代数学 中，很多研究对象 的定义常常是 以向量空间、域 基础 . 上 的代数 、结合代数 、李代数等基本概念作为基础 ，正确理解 （2 ）结合代数作为一种代数系统 ，类似于群 、环 、域 ，而 和把握这些概念是掌握更高层次 的概念 、方法与技巧 的前提和 更接近于环 . 事实上 ，环 的加法群是一个 Abel 群 ，而代数 的加 基础 . 例如 ，在教学过程 中就发现 ，一些学生对 向量空间定义 中 法群是域 F 上的向量空间 ，后者较前者的结构要简单得多 . 也就 的 “两种运算封 闭”理解不够深刻 ，这导致在掌握一些后续概 是把结合代数看做允许 向量具有分配律和结合律 的乘法 的一个 念如域上 的代数等时出现困难 . 本文结合教学实践 ，阐述 了向量 向量空间 . 空 间、域上 的代数 、结合代数 、李代数 的基本概念 ，探讨 了它 （3 ）由于用 方 括 号 积 表 达 的乘 法 未 必 符 合 结 合 律 ，即 们之间的关系 . [x ,[y , z ]] 与 [[ x ,y ], z ] 不一定相等 ，因此李代数通常不是一个 1 基本定义 结合代数或者环 . 定义 1 [1] 设 V 为 n 维 向量 的集合 ，如果集合 V 非空 ，且集 合 V 对于向量 的加法和乘数两种运算封闭 ，那么就称集合 V 为 向量空间 . 所 谓 封 闭 ，就 是 ：若 a ∈V,b ∈V, 则 a +b ∈V ；若 a ∈V ，λ∈R ，则 λa ∈V . 定义 2 [2] 设 A 为域 F 上 的向量空间 . 若在 A 上定义了一个 ∀x , y ∈A xy 二元运算 （称为乘法 ），使得对 ，有 xy ∈A . 而且 以下两条成立 ： （1 ） x y y xy xy x x y x y x y ∀x ,y ,x ,y ∈A ( 1+ 2)= 1+ 2 ,( 1+ 2) = 1 + 2 ， i i ， i 1,2 ； λ(xy)=(λx)y=x (λy) （2 ） ， ∀λ∈F ,x ,y ∈A ； 则称 A 为 F 上的一个代数 ，或者称 A 为一个 F- 代数 . 参考文献： 定义 3 [3] 设 A 为域 F 上的代数 。如果 A 中定义的乘法运算 [1]同济大学数学系．线性代数[M].北京：高等教育出版社， 满足结合律 ：