估算素数间隙的一个公式.pdf

长江大学学报(自然科学版) 2008年6月第5卷第2期：理工 of JournalYangtze SciEdit)Jun．2008，V01．5 ·8· University(Nat No．2：SciEng 估算素数间隙的一个公式 许作铭 (辽宁大学数学学院，辽宁沈阳110036) 闰 俐 (中国人民大学信息学院，北京100872) 罗贵文 (辽宁大学数学学院，辽宁沈阳110036) 许作良 (中国人民大学信息学院，北京100872) [摘要]在研究素数分布中，根据素数分布密度把全体正整数划分成无限多个台阶是十分必要的。根据逐步 淘汰原则创立了一个新的筛法——p#筛法，通过分析，r(z)与诸台阶数字个数平均值的关系，得到了一组 递推公式(或称素数分布定理)，并利用P#筛法、数论函数、极限存在准则以及等价量的性质等知识给出了 素数分布定理的初等证明，进而得到了估算素数间隙的一个公式。 [关键词]素数；素数定理；素数间隙；台阶系数；P#筛法 两个相邻素数之间的差，称为素数间隙。如果Riemann假设成立，以p。表第咒个素数，那么，估计与 根据逐步淘汰原则创立了一个新的筛法——p#筛法，得到了估算素数间隙的一个公式。 1台阶的划分与P#筛法 定义1 把小于并最接近4；-的素数称为方根素数，用户(石)表示。 显然，p(42)≤~／z。 定义2 令： f(xe)=Ⅱ掣 卢≤州船) ， ，(盟)为素数的台阶系数，简称台阶系数。显然，厂(船)具有以下性质【3]： 1 ， 、 1)f(xe)是非负有界函数f0厂(船)≤百1)。 、 厶／ 2)f(xe)是单调递减函数(f(xe，1)，(凹)厂(船，一1))。 P(石)；在第7台阶后P(xe)P(扛)。 定义3将正整数集合N+分成无限个有限数字组成的台阶，每个台阶中的数字具有同一个台阶素数 户(xe)，把这些数字称为同一台阶的数。每一个台阶中第一个数称该台阶的首数，用口(ze)表示；最后一个 数称该台阶的尾数，用b(xe)表示。T。表示第忌个台阶。 台阶的划分由台阶系数／(船)来决定。令： b(xe)一巩=[e7蠡]一[e右]口蚪1=[e7南]+1=b(xe)+1=b±+1 则bt为户(xe)的台阶尾数；口抖。为p(xe，1)台阶的首数[4。。 [收稿日期]2008—02—27 [作者简介]许作铭(1953一)，男，1982年大学毕业，副教授，现主要从事素数分布方面的研究工作。 万方数据 第5卷第2期：理工 许作铭等：估算素数间隙的一个公式 · 9· 下来，分别筛掉所有钆(1≤走≤行)的倍数，这种筛法称P#筛法或P(zP)筛法。 显然，把正整数z逐次筛分到P(扛)时，[1，z]区间的数字除1以外全部为素数。当继续扩大筛 分到P(积)=A时，由于z个P#区间可以看成p#个z区间，所以平均每个z区间的数字个数为： zⅡ掣=xf(xe) ， ‘p≤p(xe) 2素数间隙的一个显示公式 首先证明素数分布定理或称不大于z的素数个数7c(z)的计算公式‘引。 定理1(素数分布定理)对任意z∈L，即aT,∈[口。，6。]，恒有： !受考篆马=， !鲤≠％一， !鲤专等一， c，， 其中： 一(z)一∑(巩一b卜1)^+(z一6，卜t)^+0．5 ，rl f苫b^一b¨)^+(z—b，r1)^一0．5n1≤挖≤50(令b0=0) 7【一(z)=