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例谈三角函数最值问题的求解策略.pdf
思路方法
倒谈三角函数最值阎题的求解簟路
■段传礼
j角函数是重要的数学运算工具之 ,三角函
数最值问题是三角函数中的基本内容,也是高中数 /9xsinx—÷一一 12,当 9xsinx一— ,即 』
V S1IL ’SlrIDE
学中经常涉及的问题 。这部分 内容是一个难点,它
对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。 sin2z一÷时,等号才成立,即有Y…一12。
解决这一类问题的基本途径,同求解其他函数最值
一 五、利用函数在区间内的单调性
样,一方面应充分利用三角函数 自身的特殊性 (如
有界性等),另一方面还要注意将求解i角函数最值 例 4 已知 ∈(0,Ⅱ),求函数y—sinx+÷_
问题转化为求一些我们所熟知的函数最值问题。下
面就介绍几种常见的求j角函数最值的方法。 的最小值 。
一
、 可转化为 y=Asin(cox-+ )+B形式 解:设 sinx=t(Ot≤1),—f+÷在(0,1)上
形如 一asinx+bcosx的函数可以利用辅助角
公式转化成Y一 n。+bsin(+ )(其巾tancp-一 为减函数,当 一1时,Ym一3。
六、数形结合
)的形式,再利用正、余弦函数的有界性求得最 由于 sin2 +COS 一1,所 以从 图形考虑,点
(COSX,sinx)在单位圆上,这样对一类既含有正弦函
值 ,不是这种类型的可通过j角恒等变换变形为这
数 ,又含有余弦函数的 角函数的最值问题可考虑
种类型。
用几何方法求得。
例 1 求 函数 —sin +√3sin32cos.;c—l的最
值 ,并求取得最值时的 值。 例5 求函数 一 的最大值和最小值。
解 :一 (卜一cos2x)+ sin2x 1一 sin22 解 :Y一 的几何意义为两点 P(一2,o),
c。s2一≥— (2詈)一吉, Q(COSX,sinx)连线的斜率 k,而Q点的轨迹为单位
’ 别,南图(此略)可知,y…一 ,y。一一 。
·
· 当2x一詈一2k 卜号,即—k+专(∈z) 七、整体换元法
时,取得最大值,…一{; 解决 sinx4-cos,sinxcosx同时出现的题型:运
用关系式 (sina±COS.Z)一1±2sinxcosx,一般都可
当2x一詈一2k一号,即一 h 一~ (kC-Z) 整体换元法转化为 t的二次函数去求最值 ,但
要注意换元后新变量的取值范 。
时,取得最小值,…一一要。 冽6求函数 一 (4—3sina-)(4—3cosx)的最
小值 。
二、可转化为二次函数的形式 解:一16—12(sircr~cosx)+9sirtrcosx,令 f
若函数表达
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