例谈导数在高中数学中的应用.pdf

2o11年第64期是试 周刊 例 谈 导 数 在 高 中 数 学 中 的 应 用 刘建明 (资源县资源中学，广西 资源 541400) 近几年高考命题倾 向于考查新教材的内容，而考查综合 k=y ：=3—3x，．’．在点P处的切线方程为y—y。=(3-3X0)x-x。)．又 分析 问题 、解决问题 的能力，也 已成为高考命题 的新热点．高 考考试大纲指出：“对运算能力的考查主要是算理和逻辑推理 切线过点A，故一2一(3xo-Xo)=(3-3x。)(2-x。)，整理得xx。-3x：+4= 的考查，考查时以代数运算为主．”因此 ，对于高中的一些数学 0，即(x0+1)(x0— 2)=‘0 ．Xo=-l~x0=2． 问题 ，若利用导数求解 ，就能使问题简单化 ，显示 出其解法的 优越性．本文就导数在高中数学 中的应用作一下探讨 ，旨在探 ． · ． 当x。=一1时 ，切线方程为y一2；当x。=2／~／，切线方程为9x+ 究解题规律． y-16=0． 一 、 在解析几何中的应用 二 、在不等式 中的应用 例1．求 曲gJ~y=3x—x过点A(2，一2)的切线方程． 例2．(2004年全国高考题)设函数g(x)=xlnx，Oab，证明： 分析 ：曲线过 点A处 的切线与 曲线在点A处的切线不 同， Og(a)+g(b)一2gf 1(b—a)1n2． 前者既包括点A处的切线，又包括过点A但切点在另一点处的 、 二 ／ 切线． 分析 ：不等式 中的变量为 区间的两个端 点，所 以设辅助 函 解 ：设切点为P(x，Y)，由导数 的几何意义知，切线的斜率 数时可把其 中的一个端 点设 为 自变量即可． 牛定理 。驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理 ，就是指 “在 4．联系实际渗透数学文化 ，感受数学的应用价值 。 直角三角形中，两条直角边 的平方和等于斜边 的平方。”这个 数学源于生活 ．其理论核心都包含在人们 的生产、生活之 定理有十分悠久的历史，几乎所有文 明古 国(希腊、中国、埃 中。但是数学又高于生活，是对现象本质规律的高度抽象概 及 、巴比伦、印度等)对此定理都有所研究。勾股定理在西方被 括 。这一切都促使我们教师必须把先人们在数学探索历程 中 称为毕达哥拉斯定理 ．相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥 有文化价值 的思想方法加 以浓缩和加工 ．并且在课堂 中每个 拉斯于公元前550年首先发现 的。中国最早 的一部数学著 关键 的环节上适时充分地利用直观具体的实例 ，唤起学生学 作—— 《周髀算经》对 “勾股定理 ”就有记载 。这个原理是大禹 习数学 的激情 ，实现认识上 的飞跃 。因此在应用 的切人点处渗 在治水的时候就总结出来的，如果说大禹治水因年代久远而 透数学文化有利于激发学生学 习数学的兴趣 、增强学生的应 无法确切考证的话 ，记载 中周公与商高的对话则可 以确定是 用意识 。 在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早 了五百 例如 “一元一次方程”的应用题 ．可选择生活 中熟悉 的 “换 多年 。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例 。 啤酒 问题”：小明的父亲从商店买回1O瓶啤酒 ，商店规定3个空 所 以现在数学界把它称为 “勾股定理”是非常恰 当的。通过以 瓶可换 回一瓶啤酒，若小明的父亲不再给钱 ，他一共可喝上多 上知识 的介绍 ，学生会对 “勾股定理”产生浓厚的兴趣 。从而拉 少瓶啤酒?其解法是：10瓶喝完 ，可换 回三瓶 ；再喝完 ，则剩余 近学生和数学的距离 。