例谈数学美学观点.pdf

2011年 1O月 韶关学院学报 ·自然科学 Oct．2011 第 32卷 第 1O期 JournalofShaoguanUniversity ·NaturalScience V01．32 No．10 例谈数学美学观点 官运和 (韶关学院数学与信息科学学院，广东 韶关 512005) 摘要 ：数学美是一种客观存在 ，主要体现在数学的方法和理论上．对称 美是数学美的核心之一，利用对称性能使 1-3 题的解答简洁．对称多项式是对称美的具体表现形式之一．数学中广泛存在着对称，时称上升为一种 问题解答的数 学思想方法，在数学 问题解答 中利用和创造对称性，体验数学美。能产生数学学习和研究的动力． 关键词 ：数学美 ；对称美；解题 ；数学思想方法 中图分类号 ：01-0 文献标识码：A 文章编号：1007—5348(2011)10-0085-04 探讨数学美的文章有很多，各 自从不同角度讨论数学美．当学习到数学通报的几篇文章时，引起了笔者 的一些思考，产生了数学美在数学活动中无处不有的感觉．数学美是一种客观存在，是美在数学中的反映．美 感是人们的一种愉悦感，是人们心灵上某种适应性．而数学家对数学美的感受主要是着眼于数学的方法和 理论，正如数学家庞加莱所说：“数学家们非常重视他们的方法和理论是否优美，这并非华而不实的作风．”数 学教学中培养学生对数学美的审美能力，有利于激发他们学习数学的兴趣．数学美的内容十分丰富．对称美 和简洁美是数学美的核心，就是从正数到负数，从整数到分数，从有理数到无理数，从实数到虚数等一系列 数域的扩充，都与对称美的追求密切相关 ．张楚廷教授称希尔伯特空间L2是最美的空间之一，因为它的对 称性最强，其一次共轭空间就是 自己，二次当然还是 自己[2]．因此本文主要谈对称美．数学美的追求是数学不 断发展的思想源泉，同时数学美思想也大大促进 了其它科学的发展．通过数学家对美的追求及数学美的创 造 ，阐述了数学美的追求对科学发展的推动作用[3]． ’ 1 利用对称性能使问题的解答简洁 文献[4]给出了几个正确的结论：“过分强调对称性对学生解题的思路往往会有很多限制”，“有些问题 必须要破坏对称性”，“简洁在数学中非常重要”，任何事情都有它的两面性，文献[4]的例 1更能得出如下 的结论 ：“重视对称性对提高学生解题能力是有利的”，“不重视对称性往往要走一些弯路”，“利用对称性能 使问题的解答简洁”．例 1中给出了两个证 明方法，没有充分利用对称性解题，往往不简洁，不 自然，比较复 杂；当应用对称性时能有简便的证法． 例 1 设实数x,y,z，Ct满足x+y =口。上+ +上= ． Y z 口 求证 ：x,y,z中至少有一个等于 口． 分析：已知两式是关于x,y,z的对称式．求证等价于 一口)一仁一 =O，即： xyz—a(xy+yz+zx)+a2(x+y+z)-a3=O， (1) 收稿 日期 ：2010一ll一25 作者简介 ：官运和(1965一)，男，江西萍乡人，韶关学院数学与信息科学学院教授 ，硕士，主要从事数学教学论研究 万方数据 · 86· 韶关学院学报 ·自然科学 2011矩 也是关于瓢y,z的对称式． 证 由 + + ： 得 ：a(xy+yz+z)，代入(1)式左边．得(1)式成立，即结论成立． z u 罗增儒教授指出：追求解题过程的简单 ．追求思维过程的经济，是解题研究的一项基本任务，也是数学 工作者的一个共同性格[5]．过分强调对称性是有害的，但不强调对称性也可能是不利的． 2 条件对称，结论往往对称 有一个经验 ：条件是对称的，往往得出的结论也是对称 的．物理学家皮埃尔 ·居里 曾说 ，“结果与其原因