全微分法在微分学中的应用.pdf

第3l卷第4期 海南大学学报自然科学版 V01．31No．4 UNIVERSITY Dec．2013 NATURALSCIENCE OFHAINAN 2013年12月 JOURNAL 文章编号：1004—1729(2013)04—0303—03 全微分法在微分学中的应用 蔡白光，郭纪云 (海南大学信息科学技术学院，海南海口570228) 摘要：讨论了全微分法在函数求导中的应用，特别是在求解多元复合函数、抽象函数和隐函数时的应用， 它呈现出简洁、清晰和高效的特点，给问题的解决提供了通俗易懂的思路与技巧． 关键词：全微分法；复合函数；抽象函数；隐函数；偏导数 中图分类号：0172 文献标志码：C 一元函数的导数与多元函数的偏导数是大学数学的重要内容，也是很多初学者较难掌握的知识点． 一方面，函数本身的多变性和复杂性，特别是不少复合函数变量之间错综复杂的关系，使学生在解决这类 问题的时候捉襟见肘；另一方面，学生单一地依据求导法则去求解隐函数，复合函数的(偏)导数的时候， 常会发现很难把握住函数变量间的关系，从而很容易造成问题的错解．为此，本文提出应用全微分法去解 决函数的(偏)导数问题．该方法的好处在于：不论函数的形式如何多样，变量之间的关系有多么复杂，都 可以利用一阶微分形式的不变性对变量进行同等处理，从而可使问题简单化，思路清晰化和方法规范化， 大大提高了求解的效率，避免了繁杂的链式过程． 1 全微分法 所谓全微分法就是运用函数的全微分形式不变性，在函数或隐函数组中的各方程两端分别求全微 分，必要时消去中间变量的微分，最终求得函数的微分，并由此解出函数的导数或偏导数． 一元函数及二元函数的全微分不变性可以概括为下列两个定理． 定理1 设函数Y=八z)可导，则无论石是自变量还是中间变量，函数Y=八戈)的微分形式总是dy=厂 (戈)dx，即一个一元可微函数的微分总是等于该函数对某个变量的导数乘以该变量的微分． 定理2设函数彳=以M，秽)可微，不论z是自变量M与秽的函数，还是中间变量u，秽的函数，它的全微 分形式总是dz：警d“+警d秽． 0“ OⅣ ． 一般地，定理l和定理2可以推广到任意n元可微函数． 设函数z=八H。，u：，LM。)可微，不论z是自变量Mi(i=1，2，Ln)的函数，还是中间变量Mi(i=1，2， 11． 一 L dⅡi． n)的函数，它的全微分的形式总是dz=∑柚#z I-1”一l 2全微分法在微分中的应用 2．1 全微分法在参数方程求导中的应用 12 例1 求由方程戈=ln(1+t2)，且Y=￡一arctan f所确定的函数的二阶导数名． 收稿日期：2013—05—15 作者简介：蔡白光(1979一)，男，湖南郴州人，海南大学信息技术学院讲师． 通信作者：郭纪云(1984一)，女，讲师，主要从事图论研究． 。 万方数据 海南大学学报自然科学版