关于Bertrand奇论问题的合理解释.pdf

年 月 2 004 2 安庆师范学院学报 自然科学版( ) Feb. 2004 第 卷第 期 .1 10 1 Journal of aning teachers College Natural science( ) Vol.10 NO 关于Bertrand 奇论问题的合理解释 徐武明 (安徽工业大学 数理系 安徽 马鞍山, 243002) 摘 要:Bertrand 奇论问题作为概率论中的一个著名问题 人们为此试图给出合理的解释 本文试图给出任, O 意性与均匀性的之间联系 以浅显直观的形式对奇论问题给出令人信服的正确解释 从而比较妥当地解决了, , Bertrand 奇论问题 而且对初等概率论的直观均匀分布 尤其是非点情形均匀分布 概念提供一种新认识, ( ) O 关键词 均匀分布: ; Bertrand 奇论 中图分类号: 211.2 文献标识码: 文章编号:1007-4260(2004)01-0011-03 0 A 引言 熟悉概率论的人都知道: ,Bertrand 奇论问题作为概率论中的一个著名问题 曾经让人们都目, 瞪口呆 为概率论的发展作出过重要的独特的作用 后来的人们为此试图给出合理的解释 但是都未能, , , 够作出令人信服的既正确又简便直观的解释 现在O ,Bertrand 奇论在很多版本的教科书中都作为著名 例题而引起学生们的兴趣和讨论 它的内容是O : 1. 问题的提出 前提或背景:在初等概率中 在计算几何概率时 类似于古典概型中等可能性一样 一般我们认为, , , 是 均匀分布 O 例 在一半径为 的圆 内 任意 作一弦 试求此弦长度大于~ 的概率 1: r , 3r pO 解一 作半径为: /2 的同心圆 1,设弦 的中点 任意落于圆 内 可以证明 若 落于圆, , 1 r AB M M 内 则弦, AB长 3 ,~ r 则概率 应为两圆面积之比 即p , p=1/4O (见图 1) 解二 设弦: 一端固定于圆周上 另外一端 任意 考虑等边三角形, , A ,显然 如果 落于弧, AB B ADE B DE 上 则弦, AB长 3 ,~ r 故概率 为弧p DE 长比圆周长 即, p=1/3O (见图 2) 解三 设弦: 垂直于直径 , = = /2,如图 如果, 的中点 在 上 则显然弦, AB EF EG FH r AB M GH AB 长 3 ,~ 故概率 为 长度比 长度 即, =1/2O (见图 3) r p GH EF p 图1