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关于Edelstein不动点定理的改进.pdf
第23卷第1期 锦州师范学院学报(自然科学版) V01.Z3No.1
2 0O NorIIlal Science
z年3月 JoumalofJinzhou Edition) M盯.ZO0Z
Couege(Natural
关于Edelstein不动点定理的改进
陈晓雷
● (江西教育学院数计系,扛西南昌330029)
摘要:改进了Edelstein不动点定理,使其条件更为一般,即收缩算子A的被映射集的紧性条
£。 件可以去掉。
关t词:收缩算子;紧子集,不动点
中图分类号:0175.3 文献标识码:A 文章编号:1007—533x(2002)01一0063—02
来证似z)连续。
1定理及证明
从范数的三角不等式易知:f|l
Edelstein于1961年提出了如下著名的不动点≤Ilz—y0,
定理。非空紧度量空间E到其自身内任一收缩算子 于是 I“矗)一仪z。)I一川卫.一血.』一||z。一
^有一不动点叫。其实从该定理的证明过程可以发 Azo0 l≤
现,收缩算子4的映射集的紧性条件可以去掉,只须 ||(z。一^‘)一(卫。一Az。)0≤
保证算子A的象集为紧集就可以了,而这一条件的 i|(z。一^j;)+(Az。一Azo)||。
减弱,却是比较实质地改进了这一定理。到目前为 z。一z。l|一o,
因此当矗斗zo“一o。)时,有II
止,还没有人注意到这一点,文献[2]是一本较为系 II^岛一Aro0一O,从而有(似z。)一仪工。)I—o,”
统地介绍不动点理论的专著,也未见有关记载。本文 一。。,故似z)在M上连续。
则就此问题作一些深人的探讨。 由于McE是紧集,据文[3]定理1知,定义在
定义1设A是定义在赋范线性空间E中的一 Ⅳ上的实连续泛函“z)可达下确界,于是
个算子,如果 jz‘∈M,
0^工一^y00z—yll,z,,∈E,工≠_),,
使 烈z。)一inf“z)。
则称^为收缩算子。
可证明z’即是A的不动点。若不然即Az’≠z。,则
定理 设E是一实赋范线性空间,肘为E中的 z’一Ar。|l
以Az’)一0Ar。一^(Az’)II0
一个紧子集,若收缩算子A映E入,则A在E中存
一烈z。)。
在唯一不动点。
这与议z‘)为下确界的含义矛盾,故Az。=z。。
证明 易证收缩算子A是连续的。
下证不动点是唯一的。
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