关于Edelstein不动点定理的改进.pdf

第23卷第1期 锦州师范学院学报(自然科学版) V01．Z3No．1 2 0O NorIIlal Science z年3月 JoumalofJinzhou Edition) M盯．ZO0Z Couege(Natural 关于Edelstein不动点定理的改进 陈晓雷 ● (江西教育学院数计系，扛西南昌330029) 摘要：改进了Edelstein不动点定理，使其条件更为一般，即收缩算子A的被映射集的紧性条 ￡。 件可以去掉。 关t词：收缩算子；紧子集，不动点 中图分类号：0175．3 文献标识码：A 文章编号：1007—533x(2002)01一0063—02 来证似z)连续。 1定理及证明 从范数的三角不等式易知：f|l Edelstein于1961年提出了如下著名的不动点≤Ilz—y0， 定理。非空紧度量空间E到其自身内任一收缩算子 于是 I“矗)一仪z。)I一川卫．一血．』一||z。一 ^有一不动点叫。其实从该定理的证明过程可以发 Azo0 l≤ 现，收缩算子4的映射集的紧性条件可以去掉，只须 ||(z。一^‘)一(卫。一Az。)0≤ 保证算子A的象集为紧集就可以了，而这一条件的 i|(z。一^j；)+(Az。一Azo)||。 减弱，却是比较实质地改进了这一定理。到目前为 z。一z。l|一o， 因此当矗斗zo“一o。)时，有II 止，还没有人注意到这一点，文献[2]是一本较为系 II^岛一Aro0一O，从而有(似z。)一仪工。)I—o，” 统地介绍不动点理论的专著，也未见有关记载。本文 一。。，故似z)在M上连续。 则就此问题作一些深人的探讨。 由于McE是紧集，据文[3]定理1知，定义在 定义1设A是定义在赋范线性空间E中的一 Ⅳ上的实连续泛函“z)可达下确界，于是 个算子，如果 jz‘∈M， 0^工一^y00z—yll，z，，∈E，工≠_)，， 使 烈z。)一inf“z)。 则称^为收缩算子。 可证明z’即是A的不动点。若不然即Az’≠z。，则 定理 设E是一实赋范线性空间，肘为E中的 z’一Ar。|l 以Az’)一0Ar。一^(Az’)II0 一个紧子集，若收缩算子A映E入，则A在E中存 一烈z。)。 在唯一不动点。 这与议z‘)为下确界的含义矛盾，故Az。=z。。 证明 易证收缩算子A是连续的。 下证不动点是唯一的。