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学术论坛 关于n 阶极点处留数计算的一个公式 赵新暖 广西科技大学鹿山学院，广西柳州 545001） [摘 要] 留数是复 函数理论中的一个较重要的概念，也是一个重要的数学工具，在其他学科中有着广泛的应用。计算留数尤其是在极点处 计算留数通常比较麻烦，本文给出了一个比较简单的在阶极点处计算留数的公式，并加以严格证明。 [关键词] 极点；留数定理；留数 复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛 的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题 的有力工具。而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的 [ 1] 证明：由 中的推论4 可得本文结果：设渍 （z 、准 （z 在z=z 解 发展，丰富了它的内容。复变函数是高等院校中电子、机械等专业的一 0 门基础课，而留数是复变函数中的一个重要概念，很多著作都有关于留 析，准 （z 0，z=z 为渍 （z 的n 阶零点，则z=z 为 的n 阶极 0 0 数的理论及计算方法，尤其是极点处计算留数更为重要。 点，且 在高等数学和复变函数中，计算过一些定积分和广义积分，但计 算时比较复杂，用留数理论可以在分类后做统一处理，所以留数定理在 做理论探讨和实际应用中都具有重要意义。而这些的前提是计算留数， 其中极点处计算留数是其中的重点也是难点，本文主要介绍在n 阶极点 处计算留数。下面给出留数定理。 留数定理：设函数f （z 在区域D 内除有限个孤立奇点z ，z ，… 1 2 ， ，那么 z 外处处解析 C 是D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线 n 留数的计算规则： ，则 1 如果 存在且不为零 z=z 为f （z 的k 阶 0 极点，且 由上述 式，本文中渍 （z0 的为常数，则其所有导数都为零，则 上述行列式中的最后一列，处第一个元素为1 外，其他元素全部为零， 按照最后一列展开计算上述行列式，则得到一个类似上三角的行列式， 2 如果z=z 为f （z 的一阶极点，则由1 可知 通过列的变换可以将其变换成上三角行列式，则可得本文结果。