关于Smarandache结构数列.pdf

第41卷第3期 内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版) VoL41No．3 2012年5月 Science JournalofInner Normal Edition) 2012 MongoliaUniversity(Natural May 关于Smarandache结构数列 刘宝利 (西安航空职业技术学院基础瀑部，腱西同良710089) …)．利用初等对接方法及数列{a。)特有的分布性质。研究了该数列的算术性质，给出其数字和函数的一个较强 的渐近公式． 关键词：Smarandache结构效列；数字和函数；均值I渐近公式 中图分类号：O156．4 文献标志码：A 文章编号：1001-8735(2012)03一0241一03 1 主要结果 著名数论专家F．Smarandache在他所著的Onlyproblems，not a。a：；，a：。，口3l，a。铂，a。。，a。．那么，是否存在无穷多个自然数挖使得a。为素数呢?这是一个很难解决的 数论问题，有兴趣的读者可以去考虑．关于数列{a。)的其他算术性质，我们知道的并不多，至少在现有的文 献中还没有见到．本文研究数列{n。)的算术性质，利用初等对接方法以及{a。)特有的分布性质，讨论该数列 数字和函数的均值分布问题，给出了一个较强的渐近公式．为方便起见，设S(咒)表示n的十进制中各位数字 S(7891)一25．在此定义下，有下面的结论． 定理1 设(a。)表示Smarandache结构数列，则对任意实数z1，有渐近公式 P‰，=虿5·[器卜萼·[怒]堋m 其中[z]表示不超过z的最大整数． 定理2 设(a。)表示Smarandache结构数列，则对任意实数z1，有渐近公式 乏：S(口。)=导·工2+詈·z+o(1)． 磊 ‘ ‘ 显然，我们的结论还可以一般化．设S。(咒)表示n的十进制中各位数字的量次幂之和，例如S。(123)= 13+23+33=36，S|(12)=1‘+24=17．则有下面的结论． 定理3 娶㈨aR=等·[高]2十华·[高]2+o㈤， 其中c(矗)=1‘+2‘+3‘+4‘+5‘+6。+7‘+8‘+9‘，为常数． 收穑日期。2011-12-22 基金项目。国家自然科学基金资助项目·2011陕西省教育厅科学研究计射(i1JK0487) 作者简介。刘宝利(1979一)，女。陕西宝鸡人，西安航空职业技术学院讲师．顼士，主要从事解析数论研究 万方数据 ·242· 内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版) 第41卷 定理4 芝s知沪等_+竿‘z+o(1)· 其中c(志)；宰产，为常数，特别当k=2,3时，有 ． ∑s2(口卜萼心。+。)+o(1)，∑s知庐警·(xz+工)十o(1)．_ n≤z 。#≤z 2 定理的证明 本节利用初等对援方法及数列a。数孚和函数的特点来完成定理的证明，所用到的初等数论知识参见文 献[4—7]，有关Smarandache问题的其他内容参见文献[8—11]． 定理1的证明 可知o m2li‰。1nzj+1， (1) 由优的定义可知，不大于z的最大a。即d。的位数是m位．不妨这样考虑问题：将所有口。，口：，4。，…，a。按照 自然顺序对接起来得到一个自然数M，显然，M的位数为 1+2+3+…+m—I+m：—m—(miq一-1)。 9qq-r，其中q--[掣]，o≤，．9，则由M的定义可得 M=12345678912345678