关于三次Diophantine方程的求解问题.pdf

2006年4月 咸阳师范学院学报 Apr2006 第2l卷第2期 Journal Normal V01．21No．2 ofXianyangUniversity 乐茂华 (湛江师范学院数学系，广东湛江524048) 摘 要：设n是大于1的正数整数，证明了方程(帆乙1)／缸扩1)咖1驴1—1无正整数解(劬毗 关键词：指数DiophaI】廿ne方程；正整数解；同余 中图分类号：0156．7 文献标识码：A 设N是全体正整数的集合，设a、m是正整数，方程 m- 可得 EN，xl，yl，nl 堕{矽x,y,rt (1) 兰—二}≈斗什l=p (3) 是一类基本而又重要的指数Diophantine方程．它与 数论、代数学和组合数学中的很多问题有着密切的 (18，7，3)。 联系。从上世纪20年代开始，Nagell、Ljonggren等人 就曾对a=l的情况进行了深人地研究【】1，但是该方程 的求解迄今仍是一个远未解决的难题。对于一般的 数，故有 a，孙琦和袁平之[2j解决了m是奇数且n=2的情况。 “连1(roods-1)． (4) 最近，罗家贵【≈证明了方程(1)没有可使』为n次方由于“；1(roodax-1)，所以 幂的解(x,y,n)。本文完整地懈决了该方程在m=3时dx2；l(modax-1)。 (5) 的求解问题。即证明了下面定理。 结合(4)和(5)可得 定理方程 “2(x-a)--=0(roodax-1)。 (6) N，纠，yl，蒯 (2) 因为gcd(一2，一一1)=1，故从(6)可知 专筹可与弘nE x-ai0 (rood∞一1)。 (7) 仅当a=l时有解(蕾竹n)=(18，7，3)。 假设x≠o．则从(7)可得 1理论准备 [x-at苫ax-1。 (8) 上述定理的证明要用下列引理。 由此可知 引理1方程 互2十置+l=yjX，Ln∈N，nl 、’ 呛训ax-lq-x#+a=∽(a-1)(x+1)，,当N“x…a【m一1—#—o=(叶 ， ． ．5(9) )1-x()1},tt 仅有解(盖，Y，n)=(18，7，3) 证明参见文献[4】 引理2方程 当x-=．a时，从(2)可得 互2+1=y二X。一n∈N，nl 无解(X，y，H)． 曩斗=篆}=d+l=f。 (10) 证明参见