关于不定方程x3＋27=91y2.pdf

第29卷第 1期 重庆工商大学学报 (自然科学版) 2012年 1月 V0l_29 NO．1 JChongqingTechnolBusinessUniv．(NatSciEd) Jan．2012 文章编号 ：1672—058X(2012)01—0011—03 关于不定方程 3+27=912 田志勇，罗 明 (西南大学 数学与统计学院，重庆400715) 摘 要：讨论不定方程 。+27=91y 的整数解．方法主要利用 同余，递归数列，以及 Pell方程的性质，给 出了不定方程 +27=91y仅有整数解(一3，0)，(4，±1)；推广了不定方程的研究范围，为进一步研究提供 了方 向． 关键词：不定方程；整数解；递归数列；同余式 中图分类号 ：O14 文献标志码 ：A 不定方程的整数解是不定方程研究中的重要 内容，关于不定方程 ±27=Oy(D0)已有不少的研究 工作[1-63，但当JD有6+1形素因数时，方程的求解较困难．在此利用同余，递归数列，以及Pell方程的性质， 证明了不定方程明了不定方程 +27=91y仅有整数解(一3，0)，(4，±1)． 引理[ 不定方程 +1=273y仅有整数解(，Y)=(一1，0)． 定理 不定方程 +27=91v (1) 仅有整数解(一3，0)，(4，±1)． 证 当3I时，可知9ly，设z：3x。，Y=9y1则式(1)可化为 ；+1=273y，由引理知 1=一1，Y1=0，故 = 一 3，Y=0．当3 时，将式 (1)化为(+3)( 一3 +9)=91y，易知 (+3， 一3 +9)=1，故式 (1)存 在下列4种可能的分解： I． +3=91a ， 一3x+9：b ，Y=ab Ⅱ． +3：n ， 一3x+9=91b ，Y=ab 11I． +3=13a ， 一3 +9=7b ，Y=ab IV． +3=7a ． 一3x+9=13b ．Y ab 以下分别讨论这 4种情形所给的式 (1)的整数解． I．由 一3x+9=b得(2一3)一(2b)=一27，解得 =一5，8，0，3均不适合 +3=91a。，故该情形 无式(1)的解． Ⅱ．可用简单的同于方法解决：对 一3x+9=91b模 13得 ( +1)( 一4)；0(modl3)， ； 1，4(m。d13)，代入前式有22，7(m。d13)，但(去)=()=一1，而(Ct2)=l矛盾，故该情形无式(1)的整 数解． Ⅲ．同情形 Ⅱ，对 +3=13a模 13得 ；10(modl3)，代人 一3x+9=7b有 79-7b(modl3)，于是 收稿 日期：2011—03—05；修回日期 ：2011—04—27． 作者简介：田志勇(1979-)，男，湖南凤凰人 ，硕士研究生 ，从事代数数论研究 重庆工商大学学报 (自然科学版) 第29卷 l=()=()=()=一l矛盾，故该情形无式(1)的整数解． Ⅳ．将 一3戈+9=13b化为(2 一3)一13(2b)=一27，方程 一13y =一27的全部整数解可 由以下 4个非结合类解给出： +Y 13=±(5+2 13)(M + l3)=±(5+2,／i3)(649+180,／i3)，n∈N (2) +Y~／13=±(一5+2,／i3)(M+ ,／i3)=±(一5+2 l3)(649+180 13)，n∈N (3) +Y ~／13= ±(21+6~／13)(M + 13)= ±(21+6 13)(649+180,／i3)，g,／∈N (4) +Y ,／g =±(一21+6,／i3)(u+ ,A3)=±(一21+6,／iX)(649+180,A3)，n∈N (5) 其中649+180,／N是Pell方程 U