关于不定方程x^3-1=Dy^2.pdf

第25卷第4期 四川理工学院学报 (自然科学版) Vo1．25 No．4 兰Q 生 旦 竺I 蜜 坠 ———— 文章编号：1673．1549【2012)04-0079-02 DOI：10．3969／j．issn．1673·1549．2012．04．021 关于不定方程 3 D 杜先存 ，李玉龙 ，赵金娥 (红河学院 a．教师教育学院；b．数学系，云南 蒙 自 661199) 摘 要：设D是奇素数，运用初等数论的方法给出了在D=3(8m+k)(8m+k+1)+1(m，k∈N， k≤7)的情形下不定方程 一1=Dy2无正整数解的充分条件。 关键词：不定方程；奇素数；充分条件；正整数解 中图分类号：0156．1 文献标识码：A 。 一 1=Dy ，当k=3，7时，无正整数解；当k=2时， 引 言 无 2l的正整数解。 不定方程 一1=Dy(D是无平方因子的正整数 ) 是一类重要的不定方程，其整数解已有不少人研究过。 1 主要 引理 柯召，孙琦 证明了当D不含6 +1型的素因子时，方 引理 1 设 (，Y)=(2v，2u+1)是不定方程p 程无正整数解，但当D含 +1型的素因子时，方程的 一 3y =1的一组正整数解 ，而方程px一3y =l的最小 求解较为困难。高洁，梁勇 证明了P为3(4 +3)(4 解为 (2，Yo)，则当形如8+5，8Jj}+7的素数Ply。时，该 十4)+1(k∈N型的奇素数时，方程 一1=PY无正整 方程无正整数解 。 数解 。韩云娜 证明了P为3(12k+m)(12k+m+1)+ 引理2 设 。1，(0，b)∈N ，ab不是完全平方 1(m =6，8，9，11，k∈N)型素数且24k+2m+1也为素 数，如果 口 一by。=1有解 (，y)∈N ，设 。 +Y 数时，方程 一1=3py无正整数解。乐茂华 证明了 P为 12s+1(sEZ )型素数时，方程 一1=3py无正 是方程 Ⅱ 一by2=1(，YEZ)的基本解 ，则。 一by = 整数解 。梁勇，韩云娜 证明了P是3(12r+7)(12k+ 1的任一组解可 以表示为： 8)+1(r∈Z )型的奇素数 ，JD不能被3或6 +1型素 +y =±(。 +Y )” ，n∈Z 数整除，D 一5，8(mod12)，D。P是无平方因子的正整 2 定理证 明 数时，方程 一1=DPY无正整数解。 定理 1 设素数D=3(8m+ )(8m+k+1)+1， 2．1 定理 1证明 Yo=16m+2+1(m，k∈N，k≤7)，若yn有素因数q一 由方程(1)，得 (一1)( + +1)=Dy ，因为 ( 5，7(mod8)，则方程 一 1， + +1)=1或3，由文献 [3]中定理 1的证明可 一 1=Dy (1) 得，方程(1)给出 当k=0，3，4，7时，无正整数解；当k=2，5时