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学 第43卷2007年第1期 西北师范大 学报(自然科学版) V01．432007No．1 of JournalNorthwestNormal Science) 21 University(Natural 关于两个数论函数的一个整除式 黄忠铣 (武夷学院数学系，福建武夷山 354300) 摘 要：证明了对于正整数，当2 中P，q为不同的奇素数． 关键词：欧拉函数；因子和函数；整除；奇素数 中图分类号：O156．1 文献标识码：A 文章编号：i001—988X(2007)01—0021—04 Ona two relationof arithmeticfunctions divisibility HUANG Zhong—xian of (DepartmentMathematics，WuyiCollege，Wuyishan354300，Fujian，China) areno Abstract：There co(n)一3，2 integers卵with I咒，n：／=2“Pq(aEN)such 4andkE aredistinctodd N，P，q primes． totient functionof Keywords：Eulerfunction；sumdivisor；divisibility；oddprime 1 引言 其中P，q为不同的奇素数． 许多学者从不同角度研究了正整数咒的所有正 定理1的证明需要用到以下2个引理． 因子和函数d(孢)和欧拉函数妒(咒)这两个数论函数， 引理1 设正整数行一p}p；z…p；s，其中2≤P， 并由此提出了许多问题．1932年，Lehmer[¨猜 是9(咒)(忌Ehi)，贝0愚满足 想，不存在合数理，满足p(行)l(，z一1)，他本人证 明了若9(超)I(行一1)，则粗至少是7个不同素因子 岩岩…籍P≤足户1—1p2—1 ，一1、～ 之积．此后柯召和孙琦[2]，Cohen和Hagid[…， Siva Rama Prasad和Rangaman[4]又分别对此展开坌i 坌i … 了深入的研究． (pl一1)2(P2—1)2(P，一1)2’ 证明对于任意素数P，有 若a(n)一kn，则这样的数称为倍完全数或k 重完全数．当k一2时，就是普通的2重完全数． ^2一上 Gretton[5]，FredHelenius[6 Stephen 3发现了大量 一1’ 篇po- 1≥丢P等≥杀P告≥岩P， k重完全数；最近，Iannucci[7|，Hare[83讨论了k 重完全数的素因子． 夕”1(p一1)2、户”1(户一1)2弋(户一1)2’鼎南≤若斋， 对于妒()I盯(聍