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关于凸函数与对数凸函数的探究 徐州工程学院数学物理科学院胡江 【摘要l本文讨迷了凸函数和舛敷凸函数的各种等价挂，讨论了它们的分析性质，列举了凸函数年口对敷凸函数在证明中的 应用．并通过分析得出了一些新的蛄论． 【关键词】凸函数时敷凸函教Je衄m和Had锄ard型不等式 ． 在很多数学问题的分析与证明中，我们都需运用到凸函数 (文献【21中给出了结论和一种证明方法，本文给出另一种 和对数凸最数，本文对凸函数与对数凸函效作了进一步探讨． 简明易懂的证明方法) 一、函数与对数凸函数的概念 证明必要性；若f(D在D上为对数下凸函数，则In“x) I．凸函数的定叉 在D上是下凸函数，则由定理l，得[坷h)】tO 定义10J设Hx)为定义在区间I上的函数，若对I上任意 即旷。“)厂b)】t0 两点x“№和实数x∈(O。1)，总有 即一广2“)￡厂“)]2+，4“)厂“)之O 九hi+(1一工)而]s五，bt)+(1一卫)，C砘)(I) 由于，o)o·故rb)厂b)一∥c订]2苫0 则称戤)为l上的下凸函数，反之，如果(1)中不等号反向。 充分性：设gb)瑚矿h)则FcD爿矗矿h)】喘 则称厦x)为上凸函数。 定义2“l设函数哟在区问Ia，b】上有意义．若对任意的x¨ 乒业等竽丝列 艳∈【a．b】，有，庐喾】≤丛堑凄￡塑则称f“)为【a，b】上的凸函 所以g(x)在区{田D上为下凸函数，由定义3知f(x)是D 上的对数下凸函数，(用类似方法可证上凸情形) 数。 定理少’“x)为I上的下凸函数的充分必要条件是在I任 2．对数凸函数的定义 ． 意三点x-—％锅，总有丛号享差竽蔓譬I丝!；ij磬生 定义3“若函数f(x)在D上是正的，且1n取)在D上是下 凸函数则称“x)是D上的对数下凸函数．这时对于任意的抽， 定理6设“x)为D上正值函数，且“x)在D上为对数下 勘∈D和实数九∈(O，1)．有 凸函数的充分必条件是在D上的任意三点x．啦钒-总有 坝i翦+(1一^)蝴s拍矿∞)+(1一丑)z矿‰)=蛙弛)抓矗1)】 暌碧心船P B叭h一(1一D硝s，“，)1舳)“4(2) 如果(2)式中的不等号反向，则称“x)是D上的对数上的 证明必要性：记12：三三詈，则础广卜(1一五)西 由“x)是对数凸函数可知， 凸函数。 定理l如果定义2中区间I-【a，b】，且戤)都是连续函数． 则定义l与定义2等价．(证明参见文献…) 即b)‰)誓勾bt)：专，魄)冀 定理2若取)是正值函数，且Hx)是对数下凸函数，删Hx)整理后，得}解P-咭f器]^1 一定是下凸函数。要证明定理2首先给出一个引理。 充分性：任取D上二点柏，知且x．‘赫对【x1。蝴上任取一点 引理1若x≥o，y≥o且—；÷t，p’l贝h枋≤·；+芋础一(1一1)岛i∈(o，I)所以i亏i耄·由必要性的推导逆 证明由于“x)是对数下凸函数，于是我们有 过程．便可证明． 氕h一(1q)南】彰＆t)弛z)’．‘ (注2：定理4和定理6分别是由定理3和定理5类比得 在引理中只要取—；嘲，—}l一工，’就有 来的，它们的证明方法也类似) ’ 。