关于圆锥曲线切线问题的探讨.pdf

第21卷第2期 承德民族师专学报 V01．21No．2 of 2001年5月 Journal Teachers forNationalities Chengde College May．2001 关于圆锥 曲线切线问题的探讨 司志本 (承德民族师专，河北承德067000) [摘要]本文从另一个角度，对过平面内任意一点与圆锥曲线相切的直线的条数做了系统的讨 论，得出了圆满的结论。 [关键词]圆锥曲线；切线；探讨 [中图分类号]G635[文献标识码]A 我们知道，过圆锥曲线上任意一点M。(x，，y，)， fy—kx+t ① 一定存在该曲线的一条切线。具体说来，圆的切线方 ∽’1薯+若一· ② 程为x。x+y。y—r2；椭圆的切线方程为等+等=把①式代入②式整理得 ⑧ 1；双曲线的切线方程为等一等=1；抛物线的切线 方程③的判别式为 方程为y。y=p(x。+x)。但是，如果M。不是圆锥曲 线上的点，那么，过M。点是否还一定有圆锥曲线的 一4a2b2(a2k2一t2+b2) 切线?如果有，有几条?本文通过对几种圆锥曲线的 逐一研究、探讨，得出了比较圆满的结论。 一、关于椭圆的切线 b y 要其中一个确定，另一个也随之确定)，所以， 设椭圆的标准方程为 ．／ 、＼． △一4a2b2(a2k2一t2+b2) 一a X 萎+苦=， ＼。 ／／。a —b 考虑关于k(k≠o)的一元二次方程 图(1J ④ 设M(x。，y。)是平面内任意一点。如图(1)，当点 方程④的判别式为 M在直线x一±a上时，虽然直线x一±a的斜率不 △1=4x：y：一4(a2一x3)(b2一y：) 存在，但它仍然与椭圆相切，除此之外，任何没有斜 率的直线，都不可能与椭圆相切。 一4azbz(萼+鹭一1) 同理，当点M在直线y一±b上时，虽然y一± b的斜率为o，但它仍与椭圆相切，除此之外，任何斜 当点M在椭圆内部时，》+誉乏1，从而△， 率为零的直线，都不可能与椭圆相切。所以，我们可 o，方程④无实数解。即不存在实数k使方程⑧有唯 一解，从而也不可能使方程组(A)有唯一解。这就是 以根据点M是否在直线x=±a或y一±b上，分两 种情况进行讨论。 说，过点M的任何一条直线都不可能与椭圆相切。 1．当点M不在直线x一±a或y一±b上时 当点M在椭圆上时，薯+誉=1，△·=o，此时， 设过点M的直线I。的方