具偏差变元的Rayleigh方程的周期解.pdf

第9卷第3期 应用泛函分析学报 V01．9No．8 1 1 11兰!旦 垒篁三垒垒翌垒!：：量!量兰竺些篁三!坌墼垒!：!量垒呈呈兰!篁垒三垒 !竺：： !!!： 文章编号：1009—1327(2007)03—0266-07 具偏差变元的Rayleigh方程的周期解 周荚告 (中南大学数学科学与计算技术学院，长沙410083) 摘要：研究了一类具偏差变元的非自治Raylelgh方程 z”(￡)+f(t，一(f))+g(r，z(t—f(f)))一声O) 的周期解问题，利用Mawhin延拓定理和一个改进的先验估计，获得了一些新的结果．同时也改进并推 广了已有文献中的一些结果． 关键词：Rayleigh方程；周期解；先验估计 中围分类号：C1177 1引 言 考虑具偏差变元的非自治Rayleigh方程 X”0)+f(t，x (1．1) 70))+g(t，z(￡一rO)))一P(￡)， 其中，f，g∈C(R2，R)关于第一个变元都是丁一周期的，t9P∈C(R，R)都是7乙周期的(丁o)． 近年来，有关Rayleigh方程周期解的问题已引起了人们的关注(参见文[1—6]及其引文)．在 文[6]中，Liu和Huang讨论了下列形式的Rayleigh方程 (1．2) 一0)+f(x’0))+g(t，x(t—r(t)))一p(f)。 Mawhin延拓定理，在f(0)=0的条件下，文E6]获得了下列的结果． 定理A假设存在一个正常数d和两个非负常数r和K使得4rT21，并且满足 (A1)x(g(t，z)一P(f))0，Vt∈R，lzI≥d． 如果下列条件之一成立： 1)，o)≥o，Vz∈R，g(f，z)一户(})≥一m—K，Vf∈R，z≥d； t∈R，z≤一d． 2)，(z)≤0，Vz∈R，g(t，z)一户O)≤一rx+K，V 那么，方程(1_2)至少有一个丁一周期解． 定理B假设存在一个正常数d和两个非负常数r和K使得4rT21，并且满足 t∈R，lil≥d． (A2)x(g(t，z)一P(r))0，V 如果下列条件之一成立； 3)，o)≥0，Vz∈R，g(f，z)一P(t)≥旭一K，Vt∈R，z≤一d； 4)，o)≤0，V工∈R，g(t，z)一声(f)≤，z+K，Vt∈R，工≥d． 那么，方程(1．2)至少有一个丁一周期解． 以及(A2)与4)都矛盾．因此，常数r和足不能同时为0． 在这篇文章中，我们将讨论方程(1．1)的丁一周期解问题．通过利用延拓定理和一个改进的 收稿日期：2006—09—22 基金项目：国家自然科学基金I湖南省自然科学基金(06JJ20006) 万方数据 第3期 周英告：具分布变元的Rayleigh方程的周期解 267 先验估计我们获得了方程(L1)存在周期解的一些新的充分性条件，同时也改进并推广了文献 [2—4，6]中已有的结果． 出于方便考虑，本文用cj表示连续7’一周期函数z(f)构成的Banach空间，其范数为』z忆 =max l-r(￡)l；用c}表示连续可微丁一周期函数z(})构成的Banach空间，其范数为0z忆= 1E-Co·Y] max{lz(f)I，127(f)m 2预备知识 分别定义算子L和Ⅳ为 L：C}rlc2(R，R)一Cr，z(f)一一(f)，