GramSchmidt正交化的一种计算方法及其在QR分解中的应用.pdfVIP

Gram-Schmidt 正交化的一种计算方法 及其在QR 分解中的应用 1. Gram-Schmidt 正交化 给定线性无关的一个向量组(α ,α ,α )，则由其张成一个线性空间 1 2 n V span α ,α ,α( )。如何根据所给出的这个向量组写出这个线性空间 1 2 n 中的一个标准正交基(e , e ,e )。可以看出比较困难的是如何使选出的 1 2 n 向量组中的向量两两正交；至于标准化，选定两两正交的向量组后，各 向量除以其范数即可得到。 Gram-Schmidt 正交化给出了一种解法： 1. 在给定的向量组中取第一个作为正交基中的第一个向量，并将其 标准化； 2. 依次取给定向量组中后续的向量，减去其在已有标准正交基中的 投影，并将其标准化，作为新的元素添加到标准正交基中，直至 取完。 用数学语言描述即为： w 1 w1 α1 ;e1 w 1 w 2 w α =− α ,e ⋅e ;e 2 2 2 1 1 2 w 1-1 2  n−1 w n w α =− α ,e ⋅e ;e n n ∑ n i i n i 1 wn 由其算法可知，给定的线性无关的向量组中的每一个向量 , 1, ， α i n