切比雪夫不等式证明的启示及应用.pdf

重 庆 与 世 界　２０１１年第２８卷第１期 　　论文选萃 ＴｈｅＷｏｒｌｄ＆Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ　Ｖｏｌ２８Ｎｏ．１２０１１ 切比雪夫不等式证明的启示及应用 杨　乾 （西南交通大学峨眉校区，四川 峨眉山　６１４２０２） 摘要：通过对切比雪夫不等式的证明，得到含数学期望和方差的概率不等式的证法。阐述了切比雪夫不等式是 证明切比雪夫大数定律的重要工具和理论基础，在概率论及其实际生活中有很多应用。 关键词：切比雪夫不等式；数学期望；方差 中图分类号：Ｏ２１　　　　　　　文献标识码：Ａ 文章编号：１００７－７１１１（２０１１）０１－０１１９－０２ 　　一、启示：含有期望和方差的概率不等式的证法 ２ 　　定理：（切比雪夫不等式）设随机变量Ｘ具有数学期望Ｅ（Ｘ）＝ ，方差Ｄ（Ｘ）＝ ，则对任意的正数 ，有 μ σ ε ２ ２ Ｐ（｜Ｘ－ ｜ ） σ 或Ｐ（｜Ｘ－ ｜＜ ） １－σ μ ≥ε ≤ ２ μ ε ≥ ２ ε ε 　　证：设Ｘ为连续性随机变量，概率密度为ｆ（ｘ），则 ① ② ２ ③ ＋∞ ２ （ｘ－ ） １ Ｄ（Ｘ） μ ２ σ Ｐ（｜Ｘ－ ｜ ）＝ ｆ（ｘ）ｄｘ ｆ（ｘ）ｄｘ （ｘ－ ）ｆ（ｘ）ｄｘ＝ ＝ μ ≥ε ∫ ≤∫ ２ ≤ ２∫ μ ２ ２ ｜ｘ－｜ ｜ｘ－｜ － μ≥ε μ≥ε ε ε ∞ ε ε 　　切比雪夫不等式的证明步骤： １）先将随机变量在区间内取值的概率用其概率密度在该区间上的积分表示； ２）利用随机变量取值满足的不等式，将被积函数扩大，产生概率不等式； ３）将积分区间扩大到（－ ，＋ ），将积分再次扩大，切使积分化为随机变量或随机变量的函数的期望或方差的表 ∞ ∞ 达式，则得要证的概率不等式。 从中我们得到含期望和方差的概率不等式的证法。 二、切比雪夫不等式的应用 切比雪夫不等式主要有２个方面的应用： １）利用切比雪夫不等式估计随机变量Ｘ落入区间（ａ，ｂ）内的概率Ｐ（ａ＜Ｘ＜ｂ），关键是将待估概率Ｐ（ａ＜Ｘ＜ｂ）化为 Ｐ（｜Ｘ－Ｅ（Ｘ）｜＜ ）或Ｐ 的形式，方法是将不等式ａ＜Ｘ＜ｂ的各端同减去Ｅ（Ｘ） { } ε ｜Ｘ－Ｅ（Ｘ）｜≥ε ｍ ｘ －ｘ 例１　设随机变量Ｘ的概率密度为ｆ（ｘ）＝ ｅ （ｘ ０），试用切比雪夫不等式估计Ｐ