单层石墨烯与双层石墨烯电子能谱的比较研究.doc

单层石墨烯与双层石墨烯电子能谱的比较研究 石墨具有AB堆砌的层状结构，通过物理和化学的手段可以得到单层石墨，即石墨烯。石墨烯与石墨有许多不同的物理性质：单层石墨是零带隙的半导体，而双层石墨烯是半金属；单层石墨烯可以观察到半整数量子霍尔效应，双层石墨烯却不存在这样的性质。导致这些差别的主要原因是单层石墨烯与双层石墨烯有着不同的电子能谱结构。以下运用紧束缚近似的方 法计算单层石墨烯和双层石墨烯的电子能谱。 石墨的原子结构如下图 石墨由两种不同的碳原子构成，它们的电子具有不同的波函数，在图上由A B表示。晶体的位移矢量可以表示为： 平面内晶格常数，其中为平面内相邻两碳原子的距离。与此对应的布里渊区如下图 对应的倒格子矢量如下 以下所有分析都基于这样一个近似，即只考虑如下的原子间相互作用：同层间最近临的A原子与B原子的相互作用；相邻两层间最近邻的A与A，A与B，B与B原子的相互作用。同时忽略键的作用，只考虑键，即层间作用。基于以上的假设，构造出以下两个布洛赫函数： 其中，和分别表示A B两种原子在第i层的位置，和表示AB两种原子的波函数，N表示一个单元内碳原子的数目。总的系统波函数可以表示为： 首先定义如下几个常量以方便计算： 其中 对于任意层数的石磨系统来说，其Hamiltonian可以在，这样一组基底展开成为一矩阵的形式 为下述方便，用定义过的常量将矩阵元表示 其中有如下形式： 参照Weiss模型，紧束缚近似模型所定义的常量与Weiss模型的常量有如下表所示的关系 通过对角化矩阵，就可以得出相应的本征能量值 对于单层石墨烯，只有AB之间原子的作用，所以其Hamiltonian为 （），本征值为，沿方向其能量随k空间位置变化有如下图： 其中小图为K点附近的放大，可以看出单层石墨烯是带隙宽度为零的半导体 对于双层石墨烯，如下图 其Hamiltonian为： 其中，显然双层石墨烯中，。对角化可得其本征能量，此矩阵的本征方程是一个一元四次方程，其解析解十分复杂，对其作数值解，并做沿方向能量本征值随k的变化曲线有如下图 将其中小方块的位置放大 可以明显看出有少部分能带的交叠，这部分能带的交叠造成了双层石墨烯具有半金属的性质。 下面介绍如何用对应的方法求出TB方法中的几个常量 SWM模型根据石墨烯结构上的对称性来计算其能带结构的，计算方法如下： 首先写出其哈密顿量的矩阵形式 其中 为与方向之间的夹角， 对比TB方法的哈密顿量 当沿着方向，，所以TB方法的哈密顿量变为 求出此矩阵的本征值 对比SWM的本征值可以得到 当沿着方向时，TB方法的哈密顿矩阵变为 其对应的本征值为 而对应的SWM模型的哈密顿量为 其本征值为 比较TB和SWM的本征值可得到