圆锥曲线中与直线夹角相关的问题（原稿）.doc

圆锥曲线中与直线夹角相关的问题 王永洪 (北京市海淀区北京理工大学机电学院,100081) 两平面二次曲线（直线视为特殊的曲线）与相交，基于两曲线方程联立消去参数或得到一元二次方程，根据代数方程解决几何问题的方法是解析几何思想在初等数学中的典型应用方法。这种曲线方程联立消去其中一个参数（如）的方法可以解决多数常见的几何问题，这里所指的常见问题是以距离关系为主，或涉及简单而特殊的夹角关系的一类问题，而对于有一般角度关系的问题，再继续利用这种迭代消元的方法将将面临繁复的计算过程，而且会导出很多不必要的中间结果，另外，对于多个变量联合计算的过程，变量关系引入的先后顺序将决定着问题解答的效率。迭代消元解析法求解几何问题的过程规范，但对具体问题的处理具有局限性。 考虑下面的问题：二次曲线与直线有两个交点和，是平面上一点，给出的几何条件与和的斜率或是夹角有关，若采用一般的两二次曲线方程联立，迭代消去变量，得到关于的一元二次方程，再利用根与系数关系表示直线与斜率，这是一个转化求解问题的过程，如上所言，这样的解法伴随着繁琐的计算过程。事实上，通过两曲线方程联立，进行合理的迭代运算直接得到关于两直线斜率的一元二次的方程是能够实现的，这种迭代方法不会消去二次曲线中的任何参数。由于在迭代前就考虑几何关系给出的点位置而采用特殊的迭代形式，进而得到能求解直线斜率的代数方程，因此夹角关系的代数表示和问题求解过程变得简洁而高效，而且角度关系越复杂，这种方法较之普通迭代消元法的优势就越明显。下面将按点的不同位置分三类情况举例介绍如何对应和直线与斜率有关的不同类型问题得到这样的一元二次方程并解决相关问题的各种解法。 1．是原点的情况。 设双曲线与直线有两个交点，，为原点，若，求证：直线与一个圆心在原点，半径一定的圆相切。 这个问题在高中解析几何中已经得到了很多解法，下面将采用迭代的方法得到关于直线，斜率的一元二次方程。 解：一般地，若直线，和斜率存在，分别设其为，和。设直线方程为，则，联立方程，得，时，上式两边同除得，由根与系数关系得 ， ，则，即，由于，，这说明直线到原点的距离为定值，即与圆心在原点，半径为的圆相切。当直线与轴垂直或两直线和垂直于坐标轴时，易验证和圆相切，综上，当时，直线与圆心在原点，半径为的圆相切。 2．点在坐标轴上的情况。 设椭圆C的左右焦点分别为，过椭圆的左焦点作一条斜率为k直线交椭圆于A，B，设e为椭圆的离心率。 (Ⅰ)若，，求k的取值范围. (Ⅱ)设，=，直线和的夹角是，求椭圆的方程. 解：（Ⅰ）将椭圆及直线都向左平移使落在椭圆的中心。若直线，的斜率存在，设为，。 联立方程（）得， 即 。 ， 。 将代入上式得 。 于是 ，。 两条直线的夹角有： . 中令， 得 ， 或 。 另外，再联立方程，得到 是钝角，则，即 由可知，。由于（），则，于是 。 若直线，中有一条直线和轴垂直，无妨设与轴垂直，取，由得 。上式两端同除以，得。由几何关系知，。，方程无解，即这种情况是不存在的。 ，由得的取值范围是 . (Ⅱ)将，代入，得。设椭圆方程为，由得，代入题设条件得。椭圆的方程为. 从上例可见，对于不在原点的情况，可以坐标平移变换，将一般位置的点坐标映射到新坐标系下的坐标原点，相应的直线和二次曲线按坐标变换式转换到新坐标系下，注意问题求解结束后需视具体情况决定是否将结果按坐标逆变换式转换到原坐标系中。下面将举例说明坐标平移处理在一般位置的二次曲线问题。 3．在一般位置的情况。 3.1与二次曲线的切线相关的问题 过不在二次曲线上的一点可以作该曲线的两条切线，二次曲线的切线与曲线的焦点和准线之间有良好的几何性质，如过准线上的任意一点作相应曲线的两条切线，两个切点，和对应准线的焦点三点共线，而且直线与相垂直，以下以椭圆为例求解过椭圆外一点的两条切线的斜率相关的系列问题。下面将介绍在一般位置时，过点作曲线两条切线，切线斜率所满足的方程。 过椭圆外一点作椭圆的两条切线，斜率记为与，在下列独立条件下求解点的轨迹方程。 （Ⅰ）两条切线相互垂直； （Ⅱ）两条切线斜率互为倒数； （Ⅲ）； （Ⅳ）两切线的夹角是定角（）。 解：首先，导出两条切线的斜率与点坐标满足的方程。 与切点满足切线方程，而切点满足椭圆方程，先作坐标平移变换，联立方程，记，，。 ，整理后得到 ； 化简得 。 当时，，于是有下列关于切线斜率的二次方程： ， 根与系数关系式： ，。 当，前述方程简化为，由这个方程能解出过且不垂直于轴的直线的斜率 。 对切线斜率所满足的不同条件分别求解如下： （Ⅰ）两条切线相互垂直，则（且），或是且，由得到点轨迹是圆； （Ⅱ）两条切线斜率互为倒数，即（），则在双曲线（）上； （Ⅲ），点轨迹 （）， 若记切点为，，在这条有间断的折线上