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第二章 替代原理、稳健估计与影响曲线 例 2.1.1 ： 分 布 为 F 的 随 机 变 量 的 均 值 ∞ 2.1 替代原理(Substitution Principle) μ T ( F) ∫−∞ xdF( x) 。 同 样 的 有 方 差 2 统计上，常常需要估计与数据分布有关的参 2 ∞ 2 −⎡ ∞ ⎤ ， 中 位 数 数，例如均值、方差、中位数等。这些参数可 σ T ( F) ∫−∞ x dF( x) ⎢⎣∫−∞ xdF( x)⎥⎦ 以看成定义在某分布函数空间取值为实数的 med (F ) T (F ) F −1( 1) inf ⎧x : F (x) 1 ⎫ ≥ ，密度 ⎨ ⎬ 一 个 已 知 泛函T ( F) ， 称 F 为 函 数 参 数 ′ 2 ⎩ 2 ⎭ f (x ) T (F ) F (x ) 。 (functional parameter)。 例 2.1.2：经济学上度量总体中个人收入的某种“不 均衡”性。一种方式是采样 Lorenz曲线(分布)来描 述，即社会最穷的人比例t其收入占社会所有收入的 比例q(t ) 。令F 为收入分布函数(假设F (x ) 0,x =0) t t ∫0 F −1(s )ds ∫0 F −1(s )ds 则 qF (t ) 1 ， 其 中 ∫0 F −1(s )ds μ F −1(s ) inf {x : F (x ) =≥s }。定义 1 1 θ T ( F) 2 t −q (t) dt 1=−2 q (t)dt ， ∫0 [ F ] ∫0 F Gini index 2 ×A 的面积 称为 Gini index(见下图)。