Lyapunov指数的数值计算方法.pdfVIP

维普资讯 第 8卷第 l期 非 线 性 动 力 学 学 报 、b1．8NnI 2001年 3月 Jourfl~]NonlinearDynam icsinScien~ ∞dTechnololD, Mar,200l Lyapunov指数的数值计算方法 吕金虎 张锁春 (中国科学院数学与系统科学研究院应用数学研究所 北京，iooo8o) 摘要 本文主要介绍了目前常用的 Lyapunov指数的数值计算方法．对每一种方法．力 图通过简洁的语言说明该方法的具体的计算步骤．同时，对有些方法．根据我舯的实际计算经 验加以了改进 关键词 混i屯．时间序列．Lyapuno~指数，吸 I子 中固分类号 0322 1引言 从时问序列研究混沌，始于 Packard等 (1980)提出的重构相空间理论．我们知道 ． 对于决定系统长期演化的任一变量的时间演化 ．均包舍了系统所有变量长期演化的信息． 因此，我们可通过决定系统长期演化的任一单变量时问序列来研究系统的混沌行为、混 沌运动的基本特点是运动对初始条件极为敏感．两个极靠近的初值所产生的轨道．随时间 推移按指数方式分离，Lyapunov指数就是描述这一现象的量． 由于计算机的飞速发展 ．使得用数值方法研究混沌问题成为可能，其中用计算机采用 数值方法计算动力系统的Lyapunov指数就是一个典型例子．在计算Lyapupov指数的过程 中，原来困扰人们的计算时间和复杂度 问题 由于计算机的快速计算能力而显得不是那么 重要．我们现在更关注的是计算方法的可靠性和计算精度问题、 尽管 目前计算 Lyapunov指数的方法有很多，但它们大体上分属于两大类 Wolf方法… 和Jocobian方法 ．Wolf方法适用于时间序列无噪声，切空间中小向量的演变高度非线 性；Jocobian方法适用于时间序列噪声大，切空间中小向量的演变接近线性．G、Barana 和 I_Tsuda曾提出一种新的p范数算法 ，在 0lf方法和Jocobian方法之间架起 了桥粱． 但由于 p范数的选取和计算很复杂．实 际操作起来 比较困难．而 lLT．Rosenstein， J．J．Collins和G、J．Deluca(1993)提出的一种小数据量”的计算方法操作起来比较方便， 而且具有以下优点：1．对小数据组比较可靠；2、计算量较小；3、相对易操作．下面分别介 绍各种方法． ’本文于 2oo1年 1月 5日收到 维普资讯 第 l期 吕金虎辞：Lyapunn~v指数的数值计算方法 2Wo1f方法 从单变量的时间序列提取 Lyapunov指数的方法 仍然是基于时间序列的重构相空 间，Wolf等人 (1985)提出直接基于相轨线、相平面、相体积等演化来估计 Lyapunov指数． 这类方法统称为 Wotf方法…．它在混沌的研究和基于Lyapunov指数的混沌时问序列预测 中应用十分广泛． 设混沌时间序列为 … ，… 嵌入维数为 ，时间延迟为r．则重构相空间 x(1)t(l +r ．． +(m-1)rttl工…．^， (1) 取初始点x(t。)，设其与最近邻点X。(to)的距离为 厶．追踪这两点的时间演化 ·直到 ，．时刻，其间距超过某规定值 ． = (fI)一 。 ．保留X(r。)，并在 ()邻近另找一个 点 (f】)，使得厶= (fI卜X l【Ilt，并且与之间的夹角尽可能的小，继续上述过程，直至X(O 到达时间序列的终点 ^‘这时追踪演化过程总的迭代次数为 则最大Lyapunov指数为 ． “ 口： 一 h且