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数学思想解题初探 2012年 * 1. 联系与变化 例1 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为 （A，c为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是 A. 75，25 B. 75，16 C. 60，25 D. 60，16 例2 等差数列{an}前9项的和等于前4项的和 . 若a1=1，ak+a4=0 ，则k=____________. 等差数列{an}前9项的和等于前4项的和? a5+a6+a7+a8+a9=0 ? a5+a9=0. a1=1，ak+a4=0 ?k=10.  例3 △ABC 中， 则AB+2BC的最大值为_________． 2. 数形结合 例4 若x1满足2x+2x=5, x2满足2x+2log2(x-1)=5, 则x1 + x2 = A. B. 3 C. D. 4 曲线y=2x与y=log2x关于直线y=x对称，故曲线y=2x-1与y=log2(x-1)关于直线y=x-1对称. 设A(x1,y1)、B(x2,y2)分别是曲线y=2x-1、y=log2(x-1)与直线 的交点，则A、B两点关于直线y=x-1对称，故 例5 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)·(b-c)=0，则| c |的最大值是 A．1 B．2 C． D． 设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则 (a-c)·(b-c)=0 ?(1-x,-y)·(-x,1-y)=0 ?x2+y2-x-y=0 ? x2+y2=x+y= a⊥b , (a-c)·(b-c)=0 ? c2=(a+b)·c?|c|2=|a+b|·|c|·cosθ? |c|= ·cosθ≤  (θ为a+b与c夹角） 例6 曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数 a2(a0)的点的轨迹.给出下列三个结论：① 曲线C过坐标原点； ② 曲线C关于坐标原点对称；③ 若点P在曲线C上，则△ F1PF2的面积不大于 其中，所有正确结论的序号是 . 3. 分类与整合 例7 如图，用四种不同颜色给图中的A, B, C, D, E, F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有 A.288种 B.264种　C.240种　D.168种  先对B，F，C涂色，有 （种）． 设四种不同颜色为①，②，③，④．B，F，C的一种涂法是 B①， F②， C③．依题意 A，E，D的涂法如下表：共11 种，故符合要求的涂法共24 ×11=264 （种）.  A ② ③ ④ E ① ③ ④ ① ④ ① ③ D ④ ① ④ ① ② ④ ① ② ② ① ② 例8 已知函数 ， 若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_______. y=f(x)与y=k 有两个不同的 交点? 0k1 例9 有两个相同的直三棱柱，高为 , 底面三角形的三边长分别为3a,4a, 5a.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能情形中，全面积最小的是一个四棱柱， 则a的取值范围是______. S三棱柱全=  S四棱柱全= 依题意  解得  4. 转化与化归 例10 已知a与b均为单位向量，其夹角为θ ，有下列四个命题：