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【经典分形】 Koch曲线的构造及性质 作者：曾林 Koch曲线的构造及性质 Koch曲线的构造及性质 KKoocchh曲曲线线的的构构造造及及性性质质 本文主要是对经典分形中Koch曲线和 Koch雪花作简单的介绍，给出分形的生成规 则，并对其几何性质进行分析。另外，还介绍了 Koch曲线的Cesàro构造，原始的Koch 曲线构造只是 Cesàro构造的子序列。 1 原始Koch曲线 1 原始Koch曲线 11 原原始始KKoocchh曲曲线线 1.1 Koch曲线 1.1 Koch曲线 11..11 KKoocchh曲曲线线 Koch曲线是早期被描述的一种分形曲线。它由瑞典数学家Helge vonKoch在1904 年发表的一篇题为“从初等几何构造的一条没有切线的连续曲线”的论文中提出。虽 然这条曲线处处连续，但处处不光滑，处处不可微。构造这类曲线是从初始元出发，如取 一条线段或一个多边形。原则上是按一定的规则变线段为折线，形成生成元，分形的结构 也就确定了。 图1 原始Koch曲线，第1到4级的构造 图1 原始Koch曲线，第1到4级的构造 图图11 原原始始KKoocchh曲曲线线，，第第11到到44级级的的构构造造 设初始元是[0,1]，根据下列规则构造一个 Koch曲线： ① 三等分一条线段； ② 用一个等边三角形两条边替代第①步划分三等分的中间部分； ③ 在每一条直线上，重复第②步。 Koch曲线是以上步骤地无限重复的极限结果，这就是 Koch本人的原始构造。 为讨论方便，设Koch 曲线初始元的边长为a ，边数为b，长度为L ，依次所得第n 0 0 0 级Koch曲线构造的边长为 ，边数为 ，周长为 。 a b L n n n n 1 1 1 1 ⎛ ⎞ ①边长a 的公式：由于 ， ，…， ，得a = a ； a = a a = a a = a n 1 0 2 1 n n−1 n ⎜ ⎟ 0 3 3 3 3 ⎝ ⎠ ②边数 的公式：由于 ， ，…， ，得 n ； b b = 4b b = 4b b = 4b b = 4 b n 1 0 2 1 n n−1 n 0 n