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一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 【】 求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程 方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 【】，如果方程有两个实数根，那么 说明：（1）定理成立的条件 （2）注意公式重的负号与b的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值 例 若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 解：由题意，根据根与系数的关系得： (1) (2) (3) (4) 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ，，， ，， 等等．韦达定理体现了整体思想． 【】x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值为_________ 2．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ， （x1－x2）2＝ 3．已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2，则k= ; 4．若方程x2+(a2－2)x－3=0的两根是1和－3，则a= ; 5．若关于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ; 设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x12x2+x1x22 (2) － 7．已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （2）构造新方程 理论：以两个数为根的一元二次方程是。 例 解方程组 x+y=5 ??????????? xy=6??? 解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ① 的两根 由方程①解得 z1=2,z2=3 ∴原方程组的解为 x1=2,y1=3 ???????????????? x2=3,y2=2 显然，此法比代入法要简单得多。 （3）定性判断字母系数的取值范围 例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。 解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2 由题意知 △＝k2-4×2×2≥0，k≥4或k≤-4 ∴ 为所求。 【】的方程，根据下列条件，分别求出的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根满足． 分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论． 解：(1) ∵方程两实根的积为5 ∴ 所以，时，．得知： ①当时，； ②当时，，故不合题意，舍去． 综上可得，时，方程的两实根满足． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足． 例2 已知是一元二次方程的两个实数根． (1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使的值为整数的实数的整数值． 解：(1) 假设存在实数，使成立． ∵ 一元二次方程的两个实数根 ∴ ，是一元二次方程的两个实数根 ∴ ∴ ，但． ∴不存在实数，使成立． (2) ∵ ∴ 要使其值是整数，能被4整除，，， 要使的值为整数的实数的整数值为． 说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在． (2) 本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法． 一元二次方程根与系数的关系练习题 A 组 1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 2．若是方程的两个根，则的值为( ) A． B． C． D． 3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( ) A． B． C． D． 4．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( ) A． B． C． D．大小关系不能确定 5．若实数，且满足，则代数式的值为( ) A． B． C． D． 6．如果方程的两根相等，则之间的关系是 ______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ． 8．若方程的两根之差为1，则的值是 _____ ． 9．设是方程的两实