不等式恒成立问题具体函数背景下抽象不等式恒成立问题的转化策略.pdfVIP

2012年第 1期 中学数学研究 ·33· )在区间(0，1)内均存在零点． ÷]，∈(1，4)，设=c’c∈(÷，1)，g(e)= 点评：连续函数，区间端点值异号，则函数在该 区间内必有零点；反过来证明函数在某区间内有零 2(一￡+￡)，∈(1，1)，原题可化归为0g(￡) 一 ， 点时，结合二分法可研究端点值的符号是否异号来 解决．借力数形结合，理解零点存在性定理及二分法 结合图1，ng( )： ． 的知识是最为有效的方法． 点评：理解不等式恒成立问题，可通过分离变 例4 (2011年同济大学等九校联考题)若关 量，将题 目化归为直线Y=0恒在函数g(c)：：2(一 于 的方程—I_xl： 有四个不同的实数解， 则后的 ￡+￡)，￡E(÷，1)的上方，即0g(￡)…． 取值范围为( )． 例6 设函数-厂()=0 一2x+2，存在 0∈ A．(0，1)B·1，1)c·(寺，+∞)D·(1，+∞) (1，4)使得，()0成立，求n的取值范围． 分析：(1) =0显然是该方程的一个实数解； 分析：原题静存在 0∈(1，4)使得n’一’ 当≠0时，方程÷= 可为1=(+4)·成立，根据例题5，结合图(1)可知，将题 目化归为a I l( ≠一4)，设 )=(+4)I I，(≠一4且 g(t)n|，即0g(o)：0． 点评：不等式有解即为直线Y=n下方存在函 ≠0)，y：了1，原题可以转化为两函数有三个非零 数g(t)=2(一t。+￡)，￡∈(1，1)图像上的点． 交点． )=(+4)I I= v= +4 侈07 设函数 )=0 一2 +2，当10 f +4x， 0， 如 一≮| 4时都有_厂()2成立，求 的取值范围． 【一 。一4， 0且戈≠一4， ／ { 分析 ：设g(a)=似。一2x 图2易得0i14 · ，． ． ／ ＼? +2， ∈(1，4)，函数f(x)2， |厂．4 p 1 Y=一 4x 即为g(a)2，口∈(1，4)恒成 ． 故选 c． 图2 点评：方程的解其实就是 函数g()= 一Jj} 的零点问题，有关解的个数 可将参数移至一侧，将另一侧转化为简易的初等函 数，结合图像易解 二、借力数形结合，破解应用函数思想解决不等 式问题 例5 设函数 )=毗 一2x+2，对于满足 1 4的一切 的值都有 )0，求口的取值 范围． 分析 )o铮口 =2【．(。)+ 具体函数背景下抽象不等式恒成立问题的转化策略 江苏南通高等师范学校 (226100) 吴 蓉 近几年的各地高考数学试卷中，频频出现一类 在具体函数背景下的抽象不等式恒成立问题，这类 · 34· 中学数学研究 2012年第