中国科学院数学与系统科学研究院2006年数学分析考研试题解答.pdfVIP

中国科学院数学与系统科学研究院中国科学院数学与系统科学研究院 2006 年年 中国科学院数学与系统科学研究院中国科学院数学与系统科学研究院 年年 硕士研究生招生初试试题硕士研究生招生初试试题参考解答参考解答 硕士研究生招生初试试题硕士研究生招生初试试题参考解答参考解答 数学分析数学分析 数学分析数学分析 张祖锦张祖锦 编写编写 张祖锦张祖锦 编写编写 1 求a,b 使下列函数在x=0 处可导: ax+ b 当x ≥ 0; y =  2 +  x 1 当x0. 解：由于函数在x=0 处可导，从而连续，由f (0 + 0) =b, f (0 − 0) = 1 得到b=1; 又由f (0) =a, f (0) = 0 得到a=0.即得。 + − ∞ 1 ∞ 1 2 已知a 0, 级数∑ 发散, 求证级数∑ 也发散. n n=1 an n=1 an + 1 证明: 用反证法。 ∞ 1 ∞ 1 由a 0 知级数∑ ，∑ 均为正项级数。 n a a + 1 = = n 1 n n 1 n ∞ 1 1 假设级数∑ 收敛，则lim = 0 ，于是有 n=1 an + 1 n→∞ an + 1 1 a 1 1 ∞ 1 lim n = lim = lim = 1 ，从而由正项级数的比较判别法知级数∑ 收 n→∞ 1 n→∞ a n→∞ 1 a n 1− n=1 n + + a 1 + a 1 a 1 n n n 敛，矛盾，从而得证。 1