例43电梯的最速下降问题.docVIP

【例4-3】电梯的最速下降问题（）。设为电梯的瞬时高度（上为正），为电梯的瞬时速度（上为正）则可列出电梯运动的状态方程 式中与分别为开始时刻和末端时刻电梯所在楼层的高度，而与分别为开始时刻和末端时刻电梯的运行速度，当然它们应为静止状态。设电梯的最大推力为，则电梯最速下降问题是：求满足约束条件 的最优控制，使得 最小。 【解】该问题的哈密顿函数为 由极小值原理，最优控制是 同样，该最优控制的关键是要求出，注意到协态方程是 它的通解为： 显然，仅发生在这样一个孤立的时间点上。 对应于不同的和，有四种情况： ① ② ③ ④ 对于本题所讲的实际问题，电梯总是在楼层中转移总是要经历（数值上）先加速再减速的过程，所以①、②两种情况是不可能发生的。且上楼（）总是第③个控制组合，下楼（）总是第④个控制组合。 另一方面，不难求出当时状态方程的解为： 从上面两个方程中消去时间t，可得 ， 其中： 它是一族开口向右的抛物线。而当时，状态方程的解为： 同样可导出 ， 其中： 这是一族开口向左的抛物线，从图形上讲它比时得到的开口向右的抛物线焦距更小一些（通俗地说是碗口更扁一些）。 对于本例的问题，当电梯下楼（）时：因，故电梯运行的第一阶段（，向下加速阶段）有，于是 ， 而在电梯运行的第二阶段（减速制动阶段），因有 于是 在切换点： 解得： ， 这就是可能的最速下降时间。 同样可求得最速上升时间。对于本题的问题，当电梯上楼（）时：因，故电梯运行的第一阶段（加速阶段）有，于是 而在电梯运行的第二阶段（减速制动阶段），因有 于是 在切换点： 解得： ， 最速上升时间和最速下降时间竟然是相同的。