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卡尔曼滤波的原理及应用自己总结.pdf
卡尔曼滤波的原理以及应用
滤波,实质上就是信号处理与变换的过程。目的是去除或减弱不
想要成分,增强所需成分。卡尔曼滤波的这种去除与增强过程是基于
状态量的估计值和实际值之间的均方误差最小准则来实现的,基于这
种准则,使得状态量的估计值越来越接近实际想要的值。而状态量和
信号量之间有转换的关系,所以估计出状态量,等价于估计出信号量。
所以不同于维纳滤波等滤波方式,卡尔曼滤波是把状态空间理论引入
到对物理系统的数学建模过程中来,用递归方法解决离散数据线性滤
波的问题,它不需要知道全部过去的数据,而是用前一个估计值和最
近一个观察数据来估计信号的当前值,从而它具有运用计算机计算方
( )
便,而且可用于平稳和不平稳的随机过程信号 ,非时变和时变的系
统的优越性。
卡尔曼滤波属于一种软件滤波方法,概括来说其基本思想是:以
最小均方误差为最佳估计准则,采用信号与噪声的状态空间模型,利
用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值来更新对状态变量的估计,
求出当前时刻的估计值,算法根据建立的系统方程和观测方程对需要
处理的信号做出满足最小均方误差的估计。其所得到的解是以估计值
的形式给出的。
卡尔曼滤波过程简单来说主要包括两个步骤:状态变量的预估以
及状态变量的校正。预估过程是不考虑过程噪声和量测噪声,只是基
于系统本身性质并依靠前一时刻的估计值以及系统控制输入的一种
估计;校正过程是用量测值与预估量测值之间的误差乘以一个与过程
噪声和量测噪声相关的增益因子来对预估值进行校正的,其中增益因
子的确定与状态量的均方误差有关,用到了使均方误差最小的准则。
而这一过程中体现出来的递归思想即是:对于当前时刻的状态量估计
值以及均方误差预估值实时进行更新,以便用于下一时刻的估计,使
得系统在停止运行之前能够源源不断地进行下去。
下面对于其数学建模过程进行详细说明。
1.状态量的预估
1
()由前一时刻的估计值和送给系统的可控制输入来预估计当前时
刻状态量。
X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k)
其中,X(k-1|k-1)表示前一时刻的估计值, U(k)表示系统的控制
X(k|k-1) A
输入, 表示由前一时刻估计出来的状态量的预估计值, 表
k-1 k B
示由 时刻过渡到 时刻的状态转移矩阵, 表示控制输入量与状
态量之间的一种转换因子,这两个都是由系统性质来决定的。
2
()由前一时刻的均方误差阵来预估计当前时刻的均方误差阵。
P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A +Q
’
P(k-1|k-1) A A
其中, 是前一时刻的均方误差估计值, ’代表矩阵
Q
的转置, 代表过程噪声的均方误差矩阵。该表达式具体推导过程如
下:
P(k|k-1)=E{[Xs(k|k)-X(k|k-1)][Xs(k|k)-X(k|k-1)] }
’
其中Xs(k|k)=AXs(k-1|k-1)+BU(k)+W(k-1)表示当前时刻的实际值,
Xs(k-1|k-1)表示前一时刻的实际值,可以看出与当前时刻的预估计值
计算式相比,不仅用的是前一时刻的实际值来计算当前实际值
Xs(k|k),而且多考虑了实际中的过程噪声W(k-1)这一项。代入继续
推导:
=E{[AXs(k-1|k-1)+BU(k)+W(k-1)-AX(k-1|k-1)-BU(k)][A
式
Xs(k-1|k-1)+BU(k)+W(k-1)-AX(k-1|k-1)-BU(k)] }
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