一类高阶中立型微分方程有界非振动解的存在性.pdfVIP

第34卷／第4期／ 河北师范大学学报／自然科学版／ V01．34No．4 2010年7月 JOURNALOFHEBEINORMALUNIVERSlTY／NatursiIScienceEdition／ Jul．2010 一类高阶中立型微分方程有界非振动解的存在性 梁海燕， 刘召爽， 宋建民 (石家庄经济学院数理学院，河北石家庄050031) 摘要：通过运用条件^(i=1，2)关于第2个变元是单调的及不动点定理，得到了高阶中立型微分方程有界 非振动解存在的充分条件： (z(t)一p(t)z(r(f)))‘1’+fl(t，z(口l(t)))一fdt，z(口2(t)))=0． 关键词：中立型；非振动；单调性；不动点定理 中圈分类号：0175 文献标识码：A 文章编号：1000．5854(2010)04．0381．05 考虑具有正负项的高阶中立型微分方程 (1) H l非减，且存在b≠0，使得 0(“≠0)，．^(t，“)关于I ，∞ dsOO． (2) I(s—t．-1I^(5，b)I Jt 在实际应用中微分方程起着重要的作用，因此，与之相关的理论得到了深入发展．在已有文献中，人们对 于微分方程的振动性研究的较多，如文献[1．3]．最近，越来越多的人开始关注微分方程非振动解的存在性的 研究． 文献[4]研究了下列方程： (3) 应用不动点定理，在没有条件 H(t)=Ql(t)一Q2(t一口l+口2)≥0，叮l≥盯2 的情况下，得到了方程(3)存在非振动解的充分条件．文献[3]讨论了几类中立型微分方程非振动解的存在性． 受文献[3．8]的启发，本文中，笔者研究更广泛地具有非线性中立型项的高阶微分方程(1)．除非特别说 明，总是假设这些不等式对充分大的t成立． 对于函数P(t)，分下列4种情形讨论： 定理1 假设条件i)和不等式(2)成立，则方程(1)存在有界非振动解． 证 由(2)知，存在T≥to，对于t≥T，有 r∞ 再一兰研J。(s一￡)”1(^(s，M2)+^(s，M2)))ds口一M1· z 考虑定义在[to，一)上的具有上确界模0 空间Bc．令 n={z∈Bc：Ml≤z(t)≤M2，t≥to}， 收稿日期：2010一Ol·08 基金项目：国家自然科学基金；石家庄经济学院博士科研启动基金 作者简介：粱海燕(1973一)，女，河北涞源人，讲师，博士．主要从事傲分方程稳定性的研究 万方数据 ·382· 则,13是Br的一个非空有界的闭凸子集． 在n上定义映射r1，r2如下： cr．zm，={；iof#：：：姿：：专-’ 【(1-,2Y)(T)，to≤tT． 对任意的z，Y∈n， (rlz)(t)+(r2Y)(t)≤口+pM2+口一Ml≤M2 且 (jllz)(t)+(r2Y)(t)≥口一(口一M1)=Ml， cn． 则(／-l+J12)n 接下来说明rl是D上的压缩映射． 对任意的z，Y∈n。 I(rlz)(t)一(rly)(t)I≤Pt工(r(t))一Y(r(t))1， 则对任意的t∈[to，∞)，有 0． 0 J1lz—J11YIl≤P0 z—y 所以rl是0上的压缩映射． 由(2)知，对任意给定的e0，存在T’≥丁，当t≥T7时，有