从一道习题的误解说起.pdf

从一道习题的误解说起 ■陈玉兰 吴志鹏 高三复习课上，我从一道习题的解答过程中，发现学生出 )，=9+万9，所以y’=一击 现的典型错误，通过纠正错误帮助学生从多个角度人手寻找解 ’ 决问题的相关方法，训练了学生的发散性思维，开启了智慧． 令)，’=一 ，解得戈=4，此时)，= 令，，，：一1即一_≮：一1，解得戈：4，此时)，：12． 即一南=一 题目 已知茹，Yo，且÷+号=1，求茗+，，的最小值． 所以石+Y的最小值为16． 在辅导时发现有近一半的学生解答如下： 解法5：柯西不等式法 误解：1：上+旦≥皂(当且仅当上：一9时取等 因为茹，Y0， 5 5 y,／xy 7 (髫+，，)(÷+号)≥(砉石+旁万)2， 号)①，所以历≥6．因为茹+Y≥2历(当且仅当菇=Y时 所以(髫+，，)≥(1+3)2=16． 取等号)②，所以石+Y≥12． 所以茹+y的最小值为16． 所以茹+Y的最小值为12． 解法6：向量法 基本不等式的应用要求可用口决：“一正、二定、三相等”． 在上述解答中，①②两处都用到了基本不等式，这时应考虑等 令口：({，善)，b：(石，√歹)． 4x4y 号成立的条件：在①处，等号成立的条件是上：导．，即算：2， 2 b 因为I口I 2≥(4·西)2， y=18；在②处，等号成立的条件是菇=*由此可知，两处等号 所以(算+，，)(÷+手)≥(砉石+旁√歹)2， 成立的条件不一致，即两处等号不能够同时取得，显然最后的 等号也是不能成立的． 所以(菇+)，)≥(1+3)2=16． 一、另僻奚径。一题多解 所以菇+Y的最小值为16． 解法1：“1”的代换 解法7：三角代换法 因为上+旦：1， 戈 SIn 并 了 令÷=c。s2玑9，，=sin2口，所以石=丽1，y=丽9COSy —目 F 戈+ =——+——=(——+——)口 == 戈+=上+一9=(上+土)’sin2口+cos20)Y sin2 C0820 所以并+y=(菇+y)(÷+÷)=10+÷+孚≥10+2COS20 sin20(sin ×3：16(当且仅当上：丝时取等号)． 10+掣+