例谈对称性在高中数学解题中的妙用.pdfVIP

语数外学习 Yu WaiXueXi No．03．2012 Shu 2012年第3期 例谈对称性在高中数学解题中的妙用 刘道明 (兴化市景范学校，江苏兴化225700) 摘要：对称在生活中随处可见，它给人一种笑感。同时在高中数学里也有很多的对称，其中中心时称和轴对称是研完的重点，在 很多的解题过程中，如果学生能够剃用对称性求解，可获得更巧妙的解法，从而回避一些常规解法中的大量计算与繁杂过程。下面针 对自己教学的体会举凡例说明。 中图分类号：G633 文献标识码：A 一、晕哩用对称性求交点坐标 设AD为X，则8C=工一2，CG=工一3 在m△口GIc中由勾股定理可知 例l、已知反比例函数y=号(m≠o)和正比例函数，，=瞄(n 蛋 (嚣一2)2+(并一3)2=52 ≠o)(撇o)的图象相交与点jlf、Ⅳ，已知点新坐标为疆，一I)． 解之得毛=6，工2=一l(舍去)，所以AD：6。 求点，v的坐标。 分析：学生在求解过程中。大部分学生会顺着常规的解题方 法，将肘(雁，一1)代人函数解析式求出m、n．再联立方程组进而 求得点Ⅳ的坐标。这样的方法，学生易理解，但计算很复杂，若利 用函数图象的对称性．则很容易求得。 夕＼ 解：因为正比例函数，，=麟和反比例函数，，=卫的图像关于 玉 原点对称，所以鼹交点的坐标也关于原点对弥，所以膨(一墙，1)。 二．利用对称推导三角函数值之问的关系 图3 目4 例2、如何利用对称推导出霄+但。一a与a的三角函数值之 四、利用对称性求最值 间的关系。两个角的终边关予x轴对称，你有什么结论?两个角 例4、如图4．正方形A蛊CD的边长为l，点耐为昭中点，Ⅳ为 的终边关于原点对称呢? 对角线^C上一点．求删+腻的最小值。 角一a与角a的终边关于善轴对称，有： 分析：利用正方形的对称性将BⅣ转化为DⅣ，再根据“两点之 |in(一a)=一sina 间，线段最短”可知，当Ⅳ为肋与AC的交点时。删+胎的值最 c∞(一a)=c蝴(公式三) 小。 伽(一a)=一恤阳 解：连接胭．交JtC于Ⅳ 谤数外学司 a的终边 。 。， a∞终边 。， ’．‘点占与点D关于，tC成轴对称 ：．BN=DN 数 7．MN+NB=MN+ND=MD 学 系‘、、一 K)。 ·．‘膨是船中点，^B=^D=1 教 妙 ．．．胧：÷．·．肋：年．．．胭+朋Ⅳ的最小值为譬。 育 ．／ ( 五、剃用函敬图象对称性求二次函数解析式 小 义i 8的终边 p的终边